2025学年高数上期末考试复习提纲

积分“滚瓜烂熟”表

(对应图片 204025.png, 204031.png)

注意：不定积分千万别忘了 $+C$ ！

1. 基础函数积分

1. $\int k \, dx = kx + C$
2. $\int x^a \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \quad (a \neq -1)$
3. $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$ **(注意绝对值)**
4. $\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C$
5. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C$
6. $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

2. 三角函数积分（核心组）

1. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$
2. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
3. $\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$ **(常用)**
4. $\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
5. $\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C$
6. $\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C$

3. 容易忘的积分（对数形式）

1. $\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
2. $\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$

考前必背积分公式（进阶组）

(对应图片 204305.png)

1. 三角函数补充（对数型）

这两个公式通过换元法（凑微分）推导而来，建议直接背诵结论。

1. 正切函数：

   $$\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$$

   (记忆：$\tan = \sin/\cos$，$\cos$ 在分母求导是 $-\sin$，所以有负号)

2. 余切函数：

   $$\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$$

   (记忆：$\cot = \cos/\sin$，$\sin$ 在分母求导是 $\cos$，所以是正号)

---

2. 含参数 $a$ 的重要积分（易混淆点）

这组公式是基础反三角函数积分的推广形式 $(a>0)$。

⚠️ 重点注意： 哪些公式前面有系数 $\frac{1}{a}$，哪些没有！

1. 反正切推广（有系数）：

   $$\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$$

   (易错点：千万别忘了前面的 $\frac{1}{a}$)

2. 反正弦推广（无系数）：

   $$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + C$$

   (记忆：$\arcsin$ 也就是“罪”，罪人是不需要穿这一件 $\frac{1}{a}$ 的衣服的)

---

3. “长对数”与有理函数积分

这两类积分形式复杂，但经常出现在分母根式的积分题中。

1. “长对数”公式：

   $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C$$

   (无论根号里是加还是减，对数里面都是 $x$ 加上那个根式)

2. 平方差分式（有理函数）：

   $$\int \frac{1}{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$$

   (记忆：这是部分分式分解的结果 $\frac{1}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}(\frac{1}{a-x} + \frac{1}{a+x})$)

---

💡 避坑指南：系数 $\frac{1}{a}$ 的规律

在上述带 $a$ 的公式中，为了防止记混，可以遵循以下规律：

• 生成 $\arctan$ 和 $\ln$ (有理分式) 的： 前面有 $\frac{1}{a}$ 或 $\frac{1}{2a}$。
  • (公式 17, 20)
• 生成 $\arcsin$ 和 $\ln$ (长对数) 的： 前面没有 $\frac{1}{a}$。
  • (公式 18, 19)

分部积分法 (Integration by Parts)

1. 核心公式

$$\int u(x) \, dv(x) = u(x)v(x) - \int v(x) \, du(x)$$

简写为：

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

• 目的：将一个难求的积分 $\int u dv$ 转化为一个更容易求的积分 $\int v du$。

2. 选将口诀：“反对幂指三”

这是分部积分最关键的一步：谁当 $u$（留在外面求导），谁当 $dv$（塞进 $d$ 里积分）？

选取 $u$ 的优先级顺序如下（排在前面的优先当 $u$）：

简称	全称	例子	策略
反	反三角函数	$\arcsin x, \arctan x$	极高优先级当 $u$ (求导变有理式，变简单)
对	对数函数	$\ln x, \log_a x$	高优先级当 $u$ (求导变 $1/x$，降次)
幂	幂函数	$x, x^2, x^n$	中庸 (通常当 $u$，除非遇到反/对)
指	指数函数	$e^x, a^x$	低优先级 (通常凑进 $d$ 后面变成 $v$)
三	三角函数	$\sin x, \cos x$	最低优先级 (通常凑进 $d$ 后面变成 $v$)

3. 实战操作指南

• 留在 $d$ 前面的 ($u$)：你需要对它求导。
  • 看见 $\ln x$ 或 $\arctan x$，死死抓住它当 $u$，绝不放进 $d$ 里面。
• 塞进 $d$ 后面的 ($dv$)：你需要对它积分。
  • 看见 $e^x$ 或 $\sin x, \cos x$，果断把它扔到 $d$ 后面去。例如：$\int x e^x dx = \int x \, d(e^x)$。