Dopo un'esplorazione della matematica in Mesopotamia e una piccola incursione nella matematica egizia, questa volta cambiamo latitudine, continuando a proiettarci indietro di qualche secolo. In particolare, ci concentreremo su due artefatti della tradizione Inca: quipu e yupana.
Il quipu: numeri fatti di nodi
I conquistatori spagnoli sbarcarono nell'America del Sud subito dopo la "scoperta" di Colombo del 1492. Qui la civiltà inca, che occupava i territori dell'attuale Bolivia, del Perù e dell'Ecuador, li lasciò certamente meravigliati. Pur ignorando la ruota, la trazione animale e una scrittura paragonabile a quella europea, gli Incas erano ingegnosi. Per archiviare dati si servivano di un sistema molto elaborato di cordicelle a nodi (quipu).
Il quipu (nella lingua degli Incas significa "nodo") consisteva in una funicella da cui pendevano tante cordicelle lunghe una cinquantina di centimetri. Su ogni cordicella si rappresentavano i numeri secondo il principio della base decimale, con una sequenza di nodi a livelli diversi. Il livello più basso serviva per le unità (cinque nodi indicavano 5 unità). Il livello successivo, andando verso l'alto, era quello delle decine (tre nodi a questo livello indicavano 3 decine), e così via procedendo verso l'alto.
[Fig. 1 Rappresentazione su una cordicella di un quipu inca del numero 4235]
I guardiani dei nodi
In ogni città o villaggio dell'impero degli Incas vi erano funzionari, detti quipucamayoes (guardiani dei nodi). Il loro compito era registrare su quipu le nascite, i matrimoni, i decessi e i giovani idonei alle armi. Registravano anche l'inventario delle risorse e altri dati utili all'amministrazione locale. Erano funzionari di governo importanti e godevano di uno status sociale elevato.
Il peruviano Guanam Poma de Ayala dedicò ai quipucamayoes sette disegni. Si trovano in una lettera di 1179 pagine che l'autore spedì al re di Spagna attorno al 1600. La scritta in alto di uno di questi disegni (Fig. 2) indica che la persona con il quipu in mano è addirittura il Segretario dell'Inca e del suo Consiglio.
[Fig. 2 Un quipucamayu inca alle prese con un quipu]
Il colore delle cordicelle di uno stesso quipu variava a seconda del tipo di informazione. Il bianco serviva per l'inventario degli ovini o caprini, il verde per i bovini e così via. La prima cordicella verde a destra indicava il numero di tori, la seconda il numero di vacche da latte. Seguivano le vacche sterili e infine i vitelli. I pastori degli altipiani del Perù o della Bolivia praticavano questa classificazione ancora nel XIX secolo.
Dal quipu al chimpu
Un'evoluzione del quipu, tuttora in uso presso gli indios della Bolivia e del Perù, è il chimpu. Al posto delle singole cordicelle del quipu c'è un fascio di cordicelle sottili. Tre nodi su una sola cordicella del fascio indicano 3 unità, tre nodi su due cordicelle simboleggiano invece 3 decine. Cinque nodi su tre cordicelle rappresentano 5 centinaia, e così via. I vari nodi si trovano a diversi livelli, come nel quipu. Il numero di cordicelle sulle quali si eseguono i nodi, però, mostra con maggiore chiarezza l'ordine decimale corrispondente (fig. 3).
[Fig. 3 Il chimpu]
Cordicelle a nodi in tutto il mondo
La numerazione con l'impiego di cordicelle a nodi non è una esclusiva degli Incas. Anche gli esattori palestinesi, i pubblicani, utilizzavano sistemi analoghi nel 2° secolo d. C. Lo stesso facevano gli arabi, i cinesi già nel 500 a. C., i siberiani, gli africani della Nigeria, gli indiani d'America. Ancora alla fine del secolo scorso i mugnai tedeschi si servivano di cordicelle a nodi. Così registravano i commerci di grano con i contadini o di farina con i fornai.
In alcuni villaggi dell'India abitati da analfabeti, per il censimento della popolazione del 1872 si distribuirono a ogni famiglia quattro cordicelle di colori diversi. Sulla cordicella nera si facevano tanti nodi quanti erano gli adulti maschi della famiglia. Su una rossa si registravano le donne adulte, su una bianca i ragazzi e su una gialla le ragazze. Il sistema delle cordicelle a nodi era quindi un metodo popolare ben noto a coloro che non sapevano scrivere.
Uno strumento di calcolo inca: la yupana
Sulla corda principale di un quipu si trovavano spesso corde che rappresentavano una somma, come mostra la fig. 4. In questo modo potevano registrare il numero complessivo dei bovini o degli ovini o altro.
[Fig. 4 Rappresentazione su un quipu della somma (32+327+50+322=731)]
Ma dove si eseguiva l'addizione? E come? A queste curiosità risponde un passo di un libro di padre José de Acosta, un sacerdote spagnolo vissuto in Perù dal 1571 al 1586:
"Vederli usare un'altra specie di quipu, con chicchi di granoturco, è perfetta letizia. Allo scopo di eseguire calcoli molto difficili per i quali un contabile capace avrebbe bisogno di carta e penna, questi indiani fanno uso delle loro granaglie. Ne mettono una qua, tre in un altro posto, e otto non so dove. Muovono qua e là un chicco e la realtà è che sono capaci di completare i loro calcoli senza fare il più piccolo errore. In verità, nell'esercizio della matematica sono migliori di noi che usiamo carta e inchiostro. Se questo non è ingegno e queste popolazioni sono animali selvaggi, lasciate che lo giudichi chi vuole! Quello che io reputo certo è che in quello che si impegnano a fare sono superiori a noi".
[Fig. 5 Tratta da Nueva Cronica y Buen Gobierno di Felipe Guanam Poma de Ayala]
La yupana nelle scuole di oggi
L'altra specie di quipu di cui parla José de Acosta è la yupana: la scacchiera raffigurata in basso a sinistra di fig. 5. Felipe Guanam Poma de Ayala non fornisce spiegazioni sull'uso della yupana, perciò gli studiosi ne hanno elaborato diverse interpretazioni. Non è mia intenzione alimentare la discussione sui vari modelli interpretativi della yupana. Faccio riferimento solo all'uso che oggi se ne fa nelle scuole di alcuni Paesi dell'America Meridionale. Qui la yupana si disegna su un cartoncino, come in fig. 6.
[Fig. 6 Una yupana utilizzata oggi nella scuola primaria del Perù.]
Sulla colonna a destra si sistemano le unità, collocando chicchi di mais nei dieci fori. Quando questa colonna è piena si tolgono tutti i chicchi e se ne colloca uno nella colonna adiacente a sinistra. Lì si sistemano le decine, e così via. Rappresentare un numero sulla yupana è molto semplice e calcolare somme o differenze è banale. La moltiplicazione e la divisione si considerano come addizioni e sottrazioni ripetute.
Per comprendere la meraviglia di José de Acosta nel vedere all'opera i contabili Incas, si può vedere qualche filmato su YouTube. Mostrano bambini o maestre peruviane intente a eseguire calcoli con la loro yupana.
Una possibile interpretazione dell'antica yupana
Sulla yupana raffigurata in fig. 5 gli studiosi hanno avanzato diverse interpretazioni. Probabilmente il disegnatore inca autore del disegno per conto di Felipe Guanam Poma de Ayala ha volutamente nascosto qualche particolare. Alcuni studiosi sostengono questa ipotesi. Se la accettiamo, forse gli Incas utilizzavano la scacchiera ruotandola di 90° in verso antiorario, come avviene oggi nelle scuole peruviane (fig. 6).
L'interpretazione che avanzo, e che probabilmente altri hanno già proposto, si basa su un atto di fede. Gli antichi incas avevano una intelligenza vivace e cercavano di economizzare gli sforzi, come usano fare i matematici. Mi spiego. Se su ogni colonna della scacchiera avessero praticato 1, 2, 4, 8 incavi, avrebbero realizzato qualcosa di simile al mini-computer di George Papy. Posizionando un gettone nella casella con un incavo e uno in quella con quattro incavi si ottiene il numero 5. Con tre gettoni, nelle caselle con uno, due e quattro incavi, si ha il numero 7, e così via.
Il trucco degli Incas: 1, 2, 3, 5
Gli Incas sono stati ancora più attenti a minimizzare il numero di incavi: hanno praticato su ogni colonna 1, 2, 3, 5 incavi. In questo modo un chicco di mais nella prima casella in alto vale 1, nella seconda vale 2. Nella terza vale 3, nella quarta in basso vale 5. Pertanto, per rappresentare il numero 7 non occorrono sette chicchi ma solo due. Uno va nella casella che vale 2 e uno in quella che vale 5. Il numero 9 non necessita di nove chicchi ma solo di tre. Uno va nella casella che vale 5, uno in quella che vale 3 e uno in quella che vale 1. È una bella economia e, ad esempio, per rappresentare il numero 12869 (fig. 7) occorrono nove chicchi e non ventisei.
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[Fig. 7 Rappresentazione sulla yupana del numero 12869]
