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119<title>Ecuaciones logaritmicas resueltas</title>
120<meta name="keywords" content="logaritmo, logaritmos, ecuaciones, ecuacion, logaritmica, propiedades, base, incognita, resolucion, resuelta, resueltas, ejemplos, resolver, ejercicio, ejercicios, incognita, soucion, soluciones, comprobar, argumento, exponente, valor, absoluto, bachillerato" />
121<meta name="description" content="En esta pagina resolvemos 26 ecuaciones logaritmicas. Tendremos que aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar las ecuaciones. Igualaremos los argumentos de los logaritmos para calcular la solucion. Bachiller. Bachillerato." />
122
123
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154	<h1 align="center">26 ecuaciones logarítmicas resueltas</h1>
155
156	
157	<p>Una <strong>ecuación logarítmica</strong> es una ecuación cuya incógnita (o incógnitas) se encuentra multiplicando o dividiendo a los logaritmos, en sus bases o en el argumento de los logaritmos (dentro de los logaritmos).</p>
158		
159	
160	<!--PE1-->
161	<div class="PE">
162	
163	<h2 align="center">Ejemplos</h2>
164	
165	<ul>
166		<li>
167			<p>Incógnita en el argumento:</p>
168		  <h3>$$ \log_{2}(2x+4) = 3$$</h3>
169			<p>La solución es \(x = 2\).</p>
170		</li>
171		
172		<li>
173			<p>Incógnita en la base:</p>
174		  <h3>$$ \log_x (7) = 3 $$</h3>
175			<p>La solución es \( x = \sqrt[3]{7} \) (Ecuación 9).</p>
176		</li>	
177		
178		<li>
179			<p>Incógnita multiplicando:</p>
180		  <h3>$$ x\cdot \log (3) + 5 = x\cdot \log(9) $$</h3>
181			<p>La solución es \( x = 5/\log(3) \).</p>
182		</li>	
183		
184	</ul>
185	
186	</div><!--EPE1-->
187		
188	<p>En esta página nos vamos a centrar en las ecuaciones logarítmicas con la incógnita en los argumentos (como la primera ecuación de los ejemplos), aunque también resolveremos alguna ecuación de los otros tipos.</p>
189		
190	<p>Para poder resolver la ecuación es imprescindible conocer las <a href="http://logaritmo.info/propiedades/propiedades-producto-division-potencia-ejercicios-resueltos.html">propiedades de los logaritmos</a> y las <a href="https://www.matesfacil.com/resueltos-potencias.htm">propiedades de las potencias</a>. Además, la resolución de estas ecuaciones conlleva la resolución de otro tipo de ecuaciones: <a href="http://ecuacionesresueltas.com">ecuaciones lineales</a>, <a href="http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/problemas-ecuaciones-segundo-grado-resueltas-solucion-formula-raices-factorizar.html">de segundo grado</a>, de grados altos, <a href="https://www.matesfacil.com/ejercicios-resueltos-ecuaciones-radicales.html">irracionales</a>, <a href="http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/exponenciales/ecuaciones-exponenciales-resueltas-ejemplos-explicadas-soluciones-raices-exponentes.html">exponenciales</a>, etc. Esto depende de las expresiones algebraicas de los argumentos.  </p> 
191	
192		<p>En esta página v<strong>amos a resolver 26 ecuaciones logarítmicas</strong>. Iremos aumentado el grado de dificultad poco a poco. 
193	Una vez sepamos resolver estas ecuaciones, podemos pasar a los <a href="http://logaritmo.info/sistemas/sistemas-ecuaciones-logaritmicas-resueltos-explicados.html">sistemas de ecuaciones logarítmicas</a>.  
194	</p>	
195	
196	<p>Conocimientos imprescindibles:</p>
197	
198	<ul>
199		<li>
200		  <p><a href="http://logaritmo.info/propiedades/propiedades-producto-division-potencia-ejercicios-resueltos.html">Propiedades de los logaritmos</a></p>
201		</li>	
202		<li>
203			<p><a href="http://logaritmo.info/cambio/formula-ejemplos-ejercicios-resueltos-cambio-base-decimal-natural.html">Cambio de base</a></p>
204		</li>
205		
206		
207	</ul>	
208		
209	
210	
211	<p><strong>Nivel orientativo:</strong> educación secundaria y preuniversitaria.</p>	
212
213	
214	
215	
216	<h1 align="center">Ecuaciones resueltas</h1>
217	 
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236	
237	<h2 align="center">Recordatorio</h2>
238	
239	<ul>
240		<li>
241			<p>Si dos logaritmos (en la misma base) son iguales, sus argumentos también: </p>
242		  <h3>$$ \log_b (x) = \log_b (y) \Rightarrow x = y $$</h3>
243			
244		</li>
245		
246		<li>
247			<p>El argumento de un logaritmo <strong>debe ser positivo</strong> (es recomendable <strong>comprobar</strong> que las soluciones no hacen que los argumentos sean no positivos). </p>
248		  
249		</li>	
250		
251		<li>
252			<p>La base de un logaritmo debe ser positiva y distinta de 1.</p>
253		</li>	
254		
255	</ul>
256		
257	<p>Si no se indica la base, consideraremos que es la decimal: </p>
258	<p>$$ \log(x) = \log_{10}(x) $$</p>
259	
260	
261	
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263	
264	<br>
265	
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267	<div class="PE">
268	
269	<h2 align="left">Ecuación 1</h2>
270	
271	
272		<h3 align="center">$$ \log(2) + \log( x+3 ) = \log(x+5) $$</h3>
273							   
274	 
275	<h3>Solución:</h3>
276	
277		
278		
279		
280		 
281	
282		
283		<p>La suma de dos logaritmos es el logaritmo del producto:</p> 
284
285		<p>$$ \log(2\cdot (x+3) ) = \log(x+5) $$</p>
286
287		<p>$$ \log (2x +6 ) = \log(x+5) $$</p>
288
289		<p>Como los dos logaritmos son iguales, sus argumentos tienen que ser iguales. Por tanto, </p>
290
291		<p>$$ 2x +6 = x +5 $$</p>
292
293		<p>Resolvemos la <a href="http://ecuacionesresueltas.com">ecuación de primer grado</a>: </p>
294
295		<p>$$ 2x -x = 5 -6 $$</p>
296
297		<p>$$ x = -1 $$</p>
298
299		<p>Es recomendable que siempre comprobéis que los argumentos de los logaritmos de la ecuación inicial son positivos al sustituir la solución obtenida.</p> 
300
301		<p>Comprobamos si la solución es válida:</p>
302
303		<p>\( x+3 = -1 +3 = 2 &gt; 0 \)</p>
304
305		<p>\( x + 5 = -1 +5 = 4 &gt; 0 \)</p>
306
307		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \(x = -1\). </p>
308	
309		
310		 	
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335	
336	<h2 align="left">Ecuación 2</h2>
337	
338	
339		<h3 align="center">$$ \log(3) + \log(x-1) = \log(2) + \log(x+1) $$</h3>
340							   
341	 
342	
343	
344	<h3>Solución:</h3>
345	
346		
347		
348		
349		 
350		
351		
352		<p>Sumamos los logaritmos de ambos lados de la igualdad (multiplicando sus argumentos):</p> 
353
354		<p>$$ \log (3\cdot (x-1) ) = \log (2\cdot (x+1)) $$</p>
355
356		<p>$$ \log (3x -3 ) = \log (2x+ 2) $$</p>
357
358		<p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación: </p>
359
360		<p>$$ 3x -3 = 2x +2 $$</p>
361
362		<p>$$ 3x-2x = 2+3 $$</p>
363
364		<p>$$ x = 5 $$</p>
365
366		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \(x=5\).</p>
367	
368		
369	 	
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372	
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377	<div class="PE">
378	
379	<h2 align="left">Ecuación 3</h2>
380	
381	
382		<h3 align="center">$$\log ( x^2 -9 ) - \log ( x - 3 ) = \log(3) + \log(2x) $$</h3>
383							   
384	 
385	
386	
387	<h3>Solución:</h3>
388	
389	
390		
391		
392		<p>La resta de logaritmos es el logaritmo del cociente de sus argumentos y la suma de logaritmos es el logaritmo del producto de sus argumentos: </p>
393
394		<p>$$ \log \left( \frac{x^2-9}{x-3} \right) = \log(3\cdot 2x ) $$</p>
395
396		<p>Observad que el numerador de la fracción es el resultado de una <a href="https://www.matesfacil.com/ESO/productos-identidades-notables-ejercicios-resueltos.html">suma por diferencia</a>:</p>
397
398		<p>$$ x^2-9 = (x+3)(x-3) $$</p>
399
400		<p>Por tanto, podemos simplificar la fracción:</p> 
401
402		<p>$$ \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x-3} = x+3 $$</p>
403
404		<p>La ecuación que queda es</p>
405
406		<p>$$ \log (x+3) = \log (6x) $$</p>
407
408		<p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación: </p>
409
410		<p>$$ x+3 = 6x $$</p>
411
412		<p>$$ 3 = 5x $$</p>
413
414		<p>El coeficiente 5 pasa al otro lado dividiendo: </p>
415
416		<p>$$ x = \frac{3}{5} $$</p>
417
418		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 3/5\). </p>
419	
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445	<div class="PE">
446	
447	<h2 align="left">Ecuación 4</h2>
448	
449	
450		<h3 align="center">$$ \log(15-2x) = 2\log(x) $$</h3>
451							   
452	 
453	
454	<h3>Solución:</h3>
455	
456		
457		
458		<p>El 2 pasa dentro del logaritmo como exponente:</p> 
459
460		<p>$$ \log(15-2x) = \log(x^2) $$</p>
461
462		<p>Igualamos los argumentos: </p>
463
464		<p>$$ 15 -2x = x^2 $$</p>
465
466		<p>$$x^2 +2x -15 = 0 $$</p>
467
468		<p>Resolvemos la <a href="https://www.matesfacil.com/resueltos-ecuaciones-segundo-grado.htm">ecuación de segundo grado completa</a>: </p>
469
470		<p>$$ x =\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot (-15) }}{2} = $$</p>
471
472		<p>$$ =\frac{-2\pm \sqrt{ 64 }}{2} = $$</p>
473
474		<p>$$ =\frac{-2\pm 8 }{2} = $$</p>
475
476		<p>$$ =-1\pm 4  $$</p>
477
478		<p>Las soluciones son \(x = 3\) y \(x = -5\). </p>
479
480		<p>La solución negativa <strong>no</strong> es válida porque el logaritmo de la derecha tendría argumento no positivo.</p>
481
482		<p>Por tanto, la solución de la ecuación logarítmica es \(x = 3\).</p>
483	
484		
485		 	
486	</div><!--EPEj4-->
487	<br>
488	
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494	<div class="PE">
495	
496	<h2 align="left">Ecuación 5</h2>
497	
498	
499		<h3 align="center">$$ \log( 2x + 5  ) + \log( 2x - 5 ) = 2\log(x) +\log(3) $$</h3>
500							   
501	 
502	
503	<h3>Solución:</h3>
504	
505		 
506		
507		<p>Sumamos los logaritmos de la izquierda: </p>
508
509		<p>$$ \log ((2x+5)\cdot (2x - 5)) = 2\log(x) +\log(3) $$</p>
510
511		<p>$$ \log ( 4x^2 -25 ) = 2\log(x) +\log(3) $$</p>
512
513		<p>Para poder sumar los logaritmos de la derecha tenemos que eliminar el coeficiente 2 que tiene uno de ellos. Como el 2 multiplica al logaritmo, entra como exponente de su argumento: </p>
514
515		<p>$$ \log ( 4x^2 -25 ) = \log(x^2) +\log(3) $$</p>
516
517		<p>Ahora podemos sumar los logaritmos: </p>
518
519		<p>$$ \log ( 4x^2 -25 ) = \log(3x^2) $$</p>
520
521		<p>Igualamos los argumentos: </p>
522
523		<p>$$  4x^2 -25 =3x^2 $$</p>
524
525		<p>$$ x^2 -25 = 0 $$</p>
526
527		<p>Resolvemos la <a href="https://www.matesfacil.com/resueltos-ecuaciones-segundo-grado-incompletas.html">ecuación de segundo grado incompleta</a>:</p>
528
529		<p>$$ x^2 = 25 $$</p>
530
531		<p>$$ x = \pm 5 $$</p>
532
533		<p>La solución \(x = -5\) <strong>no es válida</strong> porque hace que el argumento del logaritmo \(\log(x)\) sea negativo.</p> 
534
535		<p>La única solución de la ecuación logarítmica es \(x = 5\). </p>
536	
537		
538	
539		 	
540	</div><!--EPEj5-->
541	 <br>
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556 		<br>
557	
558	<!--PEj6-->
559	<div class="PE">
560	
561	<h2 align="left">Ecuación 6</h2>
562	
563	
564		<h3 align="center">$$ 3\log(x) = \log(3x) + \log (2x-3) $$</h3>
565							   
566	 
567	
568	<h3>Solución:</h3>
569	
570		
571		<p>El 3 que hay en el lado izquierdo entra en el logaritmo; en el lado derecho sumamos los logaritmos: </p>
572
573		<p>$$ \log(x^3) = \log(3x\cdot (2x-3)) $$</p>
574
575		<p>Igualamos los argumentos: </p>
576
577		<p>$$ x^3 = 3x(2x-3) $$</p>
578
579		<p>Desarrollamos el producto de la derecha:</p>
580
581		<p>$$ x^3 = 6x^2 -9x $$</p>
582
583		<p>$$ x^3 -6x^2 +9x =0$$</p>
584
585		<p>La ecuación obtenida es de tercer grado, pero podemos extraer el factor común \(x\):</p>
586
587		<p>$$ x(x^2 -6x +9) = 0 $$</p>
588
589		<p>Una de las soluciones es \(x = 0\). Calculamos las otras resolviendo la ecuación de segundo grado: </p>
590
591		<p>$$ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 4\cdot 9}}{2} = $$</p>
592 
593		<p>$$ = \frac{6 \pm 0}{2} = 3 $$</p>
594
595		<p>Tenemos otra solución: \( x = 3\).</p> 
596
597		<p>La primera solución obtenida <strong>no es solución</strong> de la ecuación logarítmica porque haría que los argumentos de los tres logaritmos sean no positivos. </p>
598
599		<p>La única solución de la ecuación logarítmica es \(x = 3\).</p>
600	
601		
602		
603		 	
604	</div><!--EPEj6-->
605	<br>
606	
607	
608	
609	<!--PEj7-->
610	<div class="PE">
611	
612	<h2 align="left">Ecuación 7</h2>
613	
614	
615		<h3 align="center">$$ \log (  \sqrt{x^2-3x+2} ) =\log ( x )  $$</h3>
616							   
617	 
618	
619	
620	<h3>Solución:</h3>
621	
622		 
623		
624		
625		<p>Igualamos los argumentos:</p>
626
627		<p>$$ \sqrt{x^2-3x+2} = x $$</p>
628
629		<p>Se trata de una <a href="https://www.matesfacil.com/ejercicios-resueltos-ecuaciones-radicales.html">ecuación irracional</a>. Para resolverla, elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado. </p>
630
631		<p>$$ x^2 -3x+2 = x^2 $$</p>
632
633		<p>$$ -3x +2 = 0 $$</p>
634
635		<p>$$ x = \frac{2}{3} $$</p>
636
637		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 2/3\).</p>
638	
639		
640	
641		
642		
643		
644		 
645	</div><!--EPEj7-->
646	 <br>
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661 		<br>
662	
663	
664	
665	<!--PEj8-->
666	<div class="PE">
667	
668	<h2 align="left">Ecuación 8</h2>
669	
670	
671		<h3 align="center">$$ \log_3 ( x ) = \log_9 ( 4 )  $$</h3>
672							   
673	 	<p><strong>Ayuda:</strong> cambiad los logaritmos a logaritmos en base 3. </p>
674		
675		<p>$$ \log_b (a) = \frac{ \log_c (a) }{\log_c(b)} $$</p>
676	
677	<h3>Solución:</h3>
678	
679		 
680		
681		
682		<p>La ecuación es una igualdad entre logaritmos, pero no podemos igualar sus argumentos porque sus bases no son las mismas. Por eso, cambiamos a base 3 el logaritmo de la derecha (base 9): </p>
683
684		<p>$$ \log_9 (4) = \frac{ \log_3 (4) }{ \log_3 (9) } $$</p>
685
686		<p>Observad que el logaritmo en base 3 de 9 es 2:</p>
687
688		<p>$$ \log_3 (9) = \log_3 (3^2) = 2 $$</p>
689
690		<p>Por tanto, la ecuación resultante es </p>
691
692		<p>$$ \log_3 ( x ) =   \frac{ \log_3 (4) }{ 2 } $$</p>
693
694		<p>Pasamos el 2 multiplicando: </p>
695
696		<p>$$ 2\cdot \log_3 (x) = \log_3 (4) $$</p>
697
698		<p>$$ \log_3 (x^2) = \log_3 (4) $$</p>
699
700		<p>Ahora tenemos una igualdad entre logaritmos en la misma base. Podemos igualar sus argumentos: </p>
701
702		<p>$$ x^2 = 4 $$</p>
703
704		<p>Las soluciones de la <a href="https://www.matesfacil.com/resueltos-ecuaciones-segundo-grado-incompletas.html">ecuación de segundo grado incompleta</a> son \( x = -2\) y \( x = 2\).</p> 
705
706		<p>La primera de las soluciones <strong>no es válida</strong> porque hace que el argumento del logaritmo sea no positivo.</p> 
707
708		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 2\).</p>
709	
710		
711	
712		 	
713	</div><!--EPEj8-->
714	<br>
715	
716	
717	
718	<!--PEj9-->
719	<div class="PE">
720	
721	<h2 align="left">Ecuación 9</h2>
722	
723	
724		<h3 align="center">$$ \log_x (7) = 3 $$</h3>
725		
726		<p><strong>Ayuda:</strong> cambiad el logaritmo a la base 7. </p>
727							   
728	 
729	
730	<h3>Solución:</h3>
731	
732		
733		
734		<p>La fórmula del cambio de base es</p>
735
736		<p>$$ \log_b {a} = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)} $$</p>
737
738		<p>Cambiamos a base 7 el logaritmo: </p>
739
740		<p>$$ \log_{x} (7) =  \frac{\log_7(7)}{\log_7(x)} =$$</p>
741
742		<p>$$ =  \frac{1}{\log_7(x)} $$</p>
743
744		<p>La ecuación resultante es </p>
745
746		<p>$$ \frac{1}{\log_7(x)} = 3 $$</p>
747
748		<p>Observad que ahora la incógnita está en el argumento en lugar de la base. </p>
749
750		<p>Pasamos el denominador multiplicando al otro lado: </p>
751
752		<p>$$ 1 = 3\cdot \log_7 (x) $$</p>
753
754		<p>Pasamos el 3 dentro del logaritmo: </p>
755
756		<p>$$ 1 = \log_7 (x^3) $$</p>
757		
758		<p>Podemos escribir el 1 como el logaritmo \(\log_7(7)\):</p>
759
760		<p>$$ \log_7 (7) = \log_7 (x^3) $$</p>
761		
762		<p>Igualamos los argumentos:</p>
763		
764		<p>$$ x^3 = 7 $$</p>
765		
766		<p>Hacemos la raíz cúbica: </p>
767		
768		<p>$$ x = \sqrt[3]{7} $$</p>
769
770		<p>Luego la solución de la ecuación logarítmica es \(x = \sqrt[3]{7}\).</p>
771
772	
773		
774		 	
775	</div><!--EPEj9-->
776	<br>
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792	 
793	
794	
795	
796	<!--PEj10-->
797	<div class="PE">
798	
799	<h2 align="left">Ecuación 10</h2>
800	
801	
802		<h3 align="center">$$ \log ( 6x  ) - \log ( \sqrt{6x} ) = \log ( \sqrt{x^2+9 }) $$</h3>
803							   
804	 
805	
806	<h3>Solución:</h3>
807	
808		
809		
810		<p>Recordad que una raíz se puede escribir como una potencia:</p> 
811
812		<p>$$ \sqrt{a} = a^{1/2} $$</p>
813
814		<p>Extraemos los exponentes de los logaritmos:</p>
815
816		<p>$$ \log(6x) - \frac{1}{2} \cdot \log(6x) = \frac{1}{2} \cdot \log ( x^2+9 ) $$</p>
817
818		<p>Como los logaritmos del lado izquierdo son iguales, podemos extraer factor común: </p>
819
820		<p>$$ \left (1 - \frac{1}{2} \right) \cdot \log (6x) = \frac{1}{2} \cdot \log ( x^2+9 ) $$</p>
821
822		<p>$$ \frac{1}{2} \cdot \log (6x) = \frac{1}{2} \cdot \log ( x^2+9 ) $$</p>
823
824		<p>Las dos fracciones se cancelan: </p>
825
826		<p>$$ \log (6x) = \log (x^2 +9 ) $$</p>
827
828		<p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación de segundo grado completa: </p>
829
830		<p>$$ 6x = x^2 + 9 $$</p>
831
832		<p>$$ x^2 -6x + 9 = 0 $$</p>
833
834		<p>$$ x = \frac{ 6 \pm 0}{2} = 3 $$</p>
835
836		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 3\).</p>
837	
838		
839		 
840	
841		 	
842	</div><!--EPEj10-->
843	<br>
844	
845	
846	
847	<!--PEj11-->
848	<div class="PE">
849	
850	<h2 align="left">Ecuación 11</h2>
851	
852	
853		<h3 align="center">$$ \log_{x+3} (9) = \log_{5}(3) $$</h3>
854							   
855	 	<p><strong>Ayuda:</strong> cambiad la base de los logaritmos (al menos, el de la izquierda). </p>
856	
857	
858	<h3>Solución:</h3>
859	
860		
861		<p>Si cambiamos la base del logaritmo de la izquierda, la incógnita dejará de estar en la base del logaritmo y lo estará en el argumento. Ahora bien, hay que elegir la nueva base.</p>
862
863		<p>Como los argumentos de los logaritmos son potencias de 3, escogemos la base 3 para simplificar la ecuación.</p>
864
865		<p>Recordad la fórmula del cambio de base:</p> 
866
867		<p>$$ \log_b {a} = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)} $$</p>
868
869		<p>Cambiamos a base 3 el logaritmo de la izquierda: </p>
870
871		<p>$$ \log_{x+3} (9) =  \frac{\log_3(9)}{\log_3(x+3)} =$$</p>
872
873		<p>$$ = \frac{ 2 }{\log_3(x+3)} $$</p>
874
875		<p>Cambiamos la base del otro logaritmo:</p> 
876
877		<p>$$ \log_{5} (3) =  \frac{\log_3(3)}{\log_3(5)} =$$</p>
878
879		<p>$$ = \frac{ 1 }{\log_3(5)} $$</p>
880
881		<p>La ecuación resultante es</p>
882
883		<p>$$ \frac{ 2 }{ \log_3(x+3) } = \frac{ 1 }{ \log_3(5) } $$</p>
884
885		<p>Pasamos los denominadores multiplicando al otro lado:</p> 
886
887		<p>$$  2\log_3(5) =  \log_3(x+3) $$</p>
888 
889		<p>$$  \log_3(5^2) =  \log_3(x+3) $$</p>
890
891		<p>$$  \log_3(25) =  \log_3(x+3) $$</p>
892
893		<p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:</p> 
894
895		<p>$$ 25 = x+3 $$</p>
896
897		<p>$$ x = 25 -3 = 22 $$</p>
898
899		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 22\).</p>
900	
901		
902	
903		
904		
905			
906	</div><!--EPEj11-->
907	<br>
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922 		<br>
923	
924	
925	
926	<!--PEj12-->
927	<div class="PE">
928	
929	<h2 align="left">Ecuación 12</h2>
930	
931	
932		<h3 align="center">$$ \log ( |x-1|  ) + \log ( |x-3| ) = \log (  x^2 ) $$</h3>
933		
934		<p><strong>Ayuda:</strong> resolved la ecuación como si no estuvieran los valores absolutos y luego pensad por qué están. </p>
935	 
936	
937	<h3>Solución:</h3>
938	
939		
940		
941		<p>Si omitimos los valores absolutos, la ecuación que tenemos es</p>
942
943		<p>$$ \log ( x-1  ) + \log ( x-3 ) = \log (  x^2 ) $$</p>
944
945		<p>Sumamos los logaritmos de la izquierda: </p>
946
947		<p>$$ \log ((x-1)(x-3)) = \log (x^2) $$</p>
948
949		<p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación: </p>
950
951		<p>$$ (x-1)(x-3) = x^2 $$</p>
952
953		<p>$$ x^2 -3x -x +3 = x^2 $$</p>
954
955		<p>$$ x^2 -4x +3 = x^2 $$</p>
956
957		<p>$$ -4x + 3 = 0 $$</p>
958
959		<p>$$ x = \frac{3}{4} $$</p>
960
961		<p>La solución es positiva, pero al sustituirla en los argumentos del lado izquierdo de la ecuación, éstos serían negativos. Sin embargo, la presencia de los valores absolutos solventa este problema. Si no estuvieran, la ecuación logarítmica no tendría solución.</p> 
962
963		<p>Por tanto, la solución de la ecuación logarítmica es \( x = 3/4 \).</p>
964	
965		
966	
967		
968		
969		
970		
971		
972		
973	</div><!--EPEj12-->
974	<br>
975	
976	
977	
978	<!--PEj13-->
979	<div class="PE">
980	
981	<h2 align="left">Ecuación 13</h2>
982	
983	
984		<h3 align="center">$$ \log ( x^2 +3x+2 ) - \log (x+1) =  \log(1-x) $$</h3>
985							   
986	 
987	
988	
989	<h3>Solución:</h3>
990	
991		 
992		
993		
994		<p>Escribimos la resta de los logaritmos como el logaritmo del cociente de sus argumentos: </p>
995
996		<p>$$ \log \left( \frac{ x^2 +3x+2 }{x+1} \right) = \log (1-x) $$</p>
997
998		<p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación: </p>
999
1000		<p>$$ \frac{ x^2 +3x+2 }{x+1} = (1-x) $$</p>
1001
1002		<p>El polinomio del denominador pasa al otro lado multiplicando:</p> 
1003
1004		<p>$$ x^2 +3x +2 = (x+1)(1-x) $$</p>
1005
1006		<p>Observad que en la derecha hay una suma por diferencia:</p> 
1007
1008		<p>$$ x^2 +3x +2 = (1+x)(1-x) $$</p>
1009
1010		<p>$$ x^2 +3x +2 = 1-x^2 $$</p>
1011
1012		<p>$$ 2x^2 +3x +1 = 0$$</p>
1013
1014		<p>Resolvemos la ecuación de segundo grado completa:</p> 
1015
1016		<p>$$ x = \frac{ -3 \pm \sqrt{3^2 -4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}= $$</p>
1017
1018		<p>$$  = \frac{ -3 \pm \sqrt{1}}{4}$$</p>
1019
1020		<p>Las soluciones son \( x = -1/2\) y \( x = -1\). La solución \(x = -1\) <strong>no es válida</strong> porque hace que algunos argumentos se anulen.</p> 
1021
1022		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \(x = -1/2\).</p>
1023	
1024		
1025	
1026		
1027		
1028			
1029	</div><!--EPEj13-->
1030	<br>
1031	
1032	
1033	
1034	<!--PEj14-->
1035	<div class="PE">
1036	
1037	<h2 align="left">Ecuación 14</h2>
1038	
1039	
1040		<h3 align="center">$$  \log_2 ( 5x^2 +15x+10 ) - \log_2 (x+2) =  2 $$</h3>
1041							   
1042	 	<p><strong>Ayuda:</strong> escribid el 2 de la derecha como un logaritmo. </p>
1043	
1044	
1045	<h3>Solución:</h3>
1046	
1047		 
1048		
1049		
1050		<p>Restamos los logaritmos de la izquierda: </p>
1051
1052		<p>$$ \log_2 \left(  \frac{5x^2 +15x+10}{x+2}  \right)  = 2 $$</p>
1053
1054		<p>Si escribimos el 2 de la derecha como un logaritmo, tendremos una igualdad entre logaritmos. </p>
1055
1056		<p>Como la ecuación tiene logaritmos en base 2, escribimos 2 como </p>
1057
1058		<p>$$ 2 = \log_2 (2^2) = \log_2 (4) $$</p>
1059
1060		<p>La ecuación resultante es</p> 
1061
1062		<p>$$ \log_2 \left(  \frac{5x^2 +15x+10}{x+2}  \right)  = \log_2 (4)  $$</p>
1063
1064		<p>Igualamos los argumentos: </p>
1065
1066		<p>$$ \frac{5x^2 +15x+10}{x+2}  = 4 $$</p>
1067
1068		<p>El polinomio del denominador pasa multiplicando al otro lado:</p>
1069
1070		<p>$$ 5x^2 +15x + 10 = 4x +8 $$</p>
1071
1072		<p>$$ 5x^2 +11x +2 = 0 $$</p>
1073
1074		<p>Resolvemos la ecuación:</p> 
1075
1076		<p>$$ x = \frac{ -11 \pm \sqrt{11^2 -4\cdot 5\cdot 2}}{2\cdot 5}= $$</p>
1077
1078		<p>$$  = \frac{ -11 \pm \sqrt{81}}{10}= $$</p>
1079
1080		<p>$$  = \frac{ -11 \pm 9}{10} $$</p>
1081
1082		<p>Las soluciones son \( x = -1/5\) y \( x = -2\). </p>
1083
1084		<p>La solución \(x = -2\) <strong>no es una solución válida</strong> porque hace que los argumentos de los logaritmos sean 0. </p>
1085
1086		<p>La única solución de la ecuación logarítmica es \(x = -1/5\).</p>
1087	
1088		
1089	
1090		
1091		
1092		
1093		
1094		
1095	</div><!--EPEj14-->
1096	<br>
1097	
1098	
1099	
1100	<!--PEj15-->
1101	<div class="PE">
1102	
1103	<h2 align="left">Ecuación 15</h2>
1104	
1105	
1106		<h3 align="center">$$  \log( 3^x ) + 5 = \log(9^x) $$</h3>
1107							   
1108	 
1109	
1110	
1111	<h3>Solución:</h3>
1112	
1113		
1114		<p>Extraemos los exponentes de los logaritmos: </p>
1115
1116		<p>
1116$$ x\cdot \log (3) + 5 = x\cdot \log(9) $$</p>
1117
1118		<p>Si escribimos 9 como la potencia \(3^2\), podemos extraer el exponente y tendremos dos logaritmos iguales: </p>
1119
1120		<p>$$ x\cdot \log(3) + 5 = x \cdot \log (3^2) $$</p>
1121
1122		<p>$$ x\cdot \log(3) + 5 = 2x \cdot \log (3) $$</p>
1123
1124		<p>Pasamos el logaritmo a la derecha: </p>
1125
1126		<p>$$ 5 = 2x\cdot \log(3) -x \cdot \log(3) $$</p>
1127
1128		<p>$$ 5 = x \cdot \log(3) $$</p>
1129
1130		<p>Como el logaritmo multiplica a la incógnita, pasa al otro lado dividiendo: </p>
1131
1132		<p>$$ x = \frac{5}{\log(3)} $$</p>
1133	
1134		
1135		 
1136	
1137		
1138		
1139		
1140		
1141		
1142	</div><!--EPEj15-->
1143	<br>
1144	
1145	
1146	
1147	<!--PEj16-->
1148	<div class="PE">
1149	
1150	<h2 align="left">Ecuación 16</h2>
1151	
1152	
1153		<h3 align="center">$$ \log(x) + \log(x) = 2\log(x+1) $$</h3>
1154							   
1155	 
1156	
1157	<h3>Solución:</h3>
1158	
1159		
1160		
1161		
1162		<p>Sumamos los logaritmos de la izquierda:</p>
1163
1164		<p>$$ 2\log(x) = 2\log(x+1) $$</p>
1165
1166		<p>Los doses se pueden simplificar:</p>
1167
1168		<p>$$ \log(x) = \log(x+1) $$</p>
1169
1170		<p>Igualando los argumentos, </p>
1171
1172		<p>$$ x = x+1$$</p>
1173
1174		<p>Resolvemos la ecuación: </p>
1175
1176		<p>$$ 0 = 1 $$</p>
1177
1178		<p>La ecuación logarítmica <strong>no tiene solución</strong>.</p>
1179	
1180		
1181	
1182	</div><!--EPEj16-->
1183	<br>
1184	
1185	
1186	
1187	<!--PEj17-->
1188	<div class="PE">
1189	
1190	<h2 align="left">Ecuación 17</h2>
1191	
1192	
1193		<h3 align="center">$$\log(x) + \log(2) = \log(x+10) - \log(3) $$</h3>
1194							   
1195	 
1196	
1197	<h3>Solución:</h3>
1198	
1199		
1200		
1201		 
1202		
1203		
1204		<p>Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos en la izquierda:</p>
1205
1206		<p>$$\log(2\cdot x) = \log(x+10) - \log(3) $$</p>
1207
1208		<p>Y la propiedad de la resta en la derecha: </p>
1209
1210		<p>$$\log(2\cdot x) = \log \left( \frac{x+10}{3} \right) $$</p>
1211
1212		<p>Como tenemos una igualdad de logaritmos, igualamos sus argumentos:</p> 
1213
1214		<p>$$ 2x = \frac{x+10}{3} $$</p>
1215
1216		<p>Resolvemos la ecuación lineal:</p>
1217
1218		<p>$$ 3\cdot 2x = x+10 $$</p>
1219
1220		<p>$$ 6x = x+10 $$</p>
1221
1222		<p>$$ 5x = 10 $$</p>
1223
1224		<p>$$ x = \frac{10}{5} = 2 $$</p>
1225
1226		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 2\).</p>
1227	
1228		
1229	
1230		 	
1231	</div><!--EPEj17-->
1232	<br>
1233	
1234	
1235	
1236	<!--PEj18-->
1237	<div class="PE">
1238	
1239	<h2 align="left">Ecuación 18</h2>
1240	
1241	
1242		<h3 align="center">$$ 2\log(3x) - \log(3) = \log(2x^2+1) $$</h3>
1243							   
1244	 
1245	
1246	
1247	<h3>Solución:</h3>
1248	
1249		
1250		
1251		<p>El coeficiente 2 del logaritmo de la izquierda puede entrar dentro del logaritmo como un exponente:</p>
1252
1253		<p>$$ \log ((3x)^2) - \log(3) =\log(2x^2+1) $$</p>
1254
1255		<p>$$ \log(9x^2) -  \log(3) =\log(2x^2+1) $$</p>
1256
1257		<p>Aplicamos la propiedad de la resta de logaritmos:</p> 
1258
1259		<p>$$ \log \left( \frac{9x^2}{3}\right) = \log(2x^2+1) $$</p>
1260
1261		<p>$$ \log ( 3x^2) = \log(2x^2+1) $$</p>
1262
1263		<p>Igualamos los argumentos:</p>
1264
1265		<p>$$ 3x^2 = 2x^2 +1 $$</p>
1266
1267		<p>Resolvemos la ecuación de segundo grado: </p>
1268
1269		<p>$$ 3x^2 -2x^2 = 1 $$</p>
1270
1271		<p>$$ x^2 = 1 $$</p>
1272
1273		<p>$$ x = \pm 1 $$</p>
1274
1275		<p>Tenemos dos soluciones: \(x = 1\) y \(x=-1\). </p>
1276
1277		<p>Recordad que los argumentos de un logaritmo deben ser positivos.</p>
1278		
1279		<p>Tenemos que comprobar si estas soluciones hacen que el argumento sea no positivo (en la ecuación inicial). </p>
1280 	
1281	<ul>
1282		<li>
1283			<p>Si \(x = 1\), el argumento \(3x\) y \(2x^2+1\) son positivos. </p>
1284		</li>
1285		<li>
1286			<p>Sin embargo, si \(x = -1\), el argumento \(3x\) es negativo. </p>
1287		</li>
1288	</ul>
1289
1290		<p>Por tanto, la única solución de la ecuación logarítmica es \( x = 1\). </p>
1291	
1292		
1293		 
1294	
1295		 	
1296	</div><!--EPEj18-->
1297	<br>
1298	
1299	
1300	
1301	<!--PEj19-->
1302	<div class="PE">
1303	
1304	<h2 align="left">Ecuación 19</h2>
1305	
1306	
1307		<h3 align="center">$$ \log(3-x) + \log(x+3) = \log(9-x) - \log \left( \frac{1}{x}\right) $$</h3>
1308							   
1309	 
1310	
1311	<h3>Solución:</h3>
1312	
1313		
1314		
1315		 
1316		
1317		
1318		<p>En el lado izquierdo, sumamos los logaritmos:</p> 
1319
1320		<p>$$ \log ((3-x)\cdot(x+3)) = \log(9-x) - \log \left( \frac{1}{x}\right) $$</p>
1321
1322		<p>Observad que </p>
1323
1324		<p>$$ \log \left( \frac{1}{x}\right) = \log (x^{-1}) = -\log(x) $$</p>
1325
1326		<p>Así, podemos reescribir el lado derecho: </p>
1327
1328		<p>$$ \log ((3-x)\cdot(x+3)) = \log(9-x) + \log(x) $$</p>
1329
1330		<p>Sumamos los logaritmos en la derecha:</p>
1331
1332		<p>
1332$$ \log ( (3-x)\cdot(x+3) ) = \log( (9-x)\cdot x ) $$</p>
1333
1334		<p>Igualando los argumentos tenemos la ecuación:</p> 
1335
1336		<p>$$(3-x)\cdot(x+3) = (9-x)\cdot x $$</p>
1337
1338		<p>Como en el lado izquierdo hay una suma por diferencia,</p>
1339
1340		<p>$$ 9 -x^2  = (9-x)\cdot x $$</p>
1341
1342		<p>$$ 9 -x^2 = 9x -x^2 $$</p>
1343
1344		<p>$$ 9 = 9x $$</p>
1345
1346		<p>$$ x = 1 $$</p>
1347
1348		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 1\).</p>
1349	
1350		
1351	
1352		
1353		 
1354	</div><!--EPEj19-->
1355	<br>
1356	
1357	<!--PEj20-->
1358	<div class="PE">
1359	
1360	<h2 align="left">Ecuación 20</h2>
1361	
1362	
1363		<h3 align="center">$$ \log(3x-1) + \log(1-2x) = \log(x-1) $$</h3>
1364							   
1365	 
1366	
1367	<h3>Solución:</h3>
1368	
1369		 
1370		
1371		
1372		<p>Sumamos los logaritmos de la izquierda:</p>
1373
1374		<p>$$ \log((3x-1) \cdot (1-2x)) = \log(x-1) $$</p>
1375
1376		<p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:</p>
1377
1378		<p>$$ (3x-1)(1-2x) = x-1 $$</p>
1379
1380		<p>Multiplicamos los polinomios de la izquierda:</p>
1381
1382		<p>$$ 3x -6x^2 -1 +2x = x-1 $$</p>
1383
1384		<p>$$ 4x -6x^2 = 0 $$</p>
1385
1386		<p>Es una ecuación de segundo grado incompleta: </p>
1387
1388		<p>$$ 2x(2 -3x) = 0 $$</p>
1389
1390		<p>Una solución es \(x = 0\) y la otra es \( x = 2/3\). </p>
1391
1392		<p>Comprobamos si los argumentos son positivos: </p>
1393		
1394		<ul>
1395			<li>
1396				<p>Si \(x = 0\), uno de los argumentos es negativo (el de la derecha: \(\log (x-1)\)). Por tanto, <strong>no es una solución válida</strong>.</p> 
1397			</li>
1398		
1399			<li>
1400				<p>Si \(x = 2/3\), dos argumentos son negativos. Por tanto, tampoco es una solución válida. </p>
1401			</li>
1402		</ul>
1403
1404		<p>Por tanto, la ecuación logarítmica no tiene solución.</p>
1405	
1406		
1407	
1408		
1409		
1410		 	
1411	</div><!--EPEj20-->
1412	<br>
1413	
1414	
1415	
1416	<!--PEj21-->
1417	<div class="PE">
1418	
1419	<h2 align="left">Ecuación 21</h2>
1420	
1421	
1422		<h3 align="center">$$ \log(x+5) - \log(25-x^2) = \log(5-x) $$</h3>
1423							   
1424	 
1425	
1426	<h3>Solución:</h3>
1427	
1428		
1429		 
1430		
1431		
1432		<p>Restamos los logaritmos: </p>
1433
1434		<p>$$ \log \left( \frac{x+5}{25-x^2} \right) = \log(5-x) $$</p>
1435
1436		<p>Igualamos los argumentos: </p>
1437
1438		<p>$$ \frac{x+5}{25-x^2} = 5-x $$</p>
1439
1440		<p>En el denominador de la fracción tenemos el resultado de una suma por una diferencia: </p>
1441
1442		<p>$$ 25 -x^2 = (5-x)(x+5) $$</p>
1443
1444		<p>Escribiendo así el denominador, la fracción se puede simplificar:</p> 
1445
1446		<p>$$ \frac{x+5}{ (5-x)(x+5)   } = 5-x $$</p>
1447
1448		<p>$$ \frac{1}{5-x} = 5-x $$</p>
1449
1450		<p>Pasamos el denominador multiplicando a la derecha: </p>
1451
1452		<p>$$ 1 = (5-x)(5-x) $$</p>
1453
1454		<p>$$ 1 = 25 +x^2 -10x $$</p>
1455
1456		<p>$$ x^2 -10x +24 = 0 $$</p>
1457
1458		<p>Resolvemos la ecuación de segundo grado completa: </p>
1459
1460		<p>$$ x = \frac{ 10\pm \sqrt{100-4\cdot 24} }{ 2 } = $$</p> 
1461
1462		<p>$$  = \frac{ 10\pm \sqrt{4} }{ 2 } = $$ </p>
1463
1464		<p>$$  = \frac{ 10\pm 2 }{ 2 } = $$</p> 
1465
1466		<p>$$ = 5\pm 1 $$</p>
1467
1468		<p>Tenemos las soluciones \( x = 4\) y \(x = 6\). </p>
1469
1470		<p>Comprobamos si con estas soluciones los argumentos son positivos:</p> 
1471		
1472		<ul>
1473			<li>
1474				<p>Si \(x = 4\), los argumentos son positivos. Es una solución.</p>
1475			</li>
1476		
1477			<li>
1478				<p>Si \(x = 6\), dos argumentos son no positivos. Ésta <strong>no</strong> es una solución válida. </p>
1479			</li>
1480		
1481		</ul>
1482
1483		<p>Por tanto, la única solución de la ecuación logarítmica es \(x = 4\). </p>
1484	
1485		
1486	
1487		 	
1488	</div><!--EPEj21-->
1489	<br>
1490	
1491	
1492	
1493	<!--PEj22-->
1494	<div class="PE">
1495	
1496	<h2 align="left">Ecuación 22</h2>
1497	
1498	
1499		<h3 align="center">$$ \log ( \sqrt{x}   ) + \log( \sqrt[6]{x} ) =  \log(\sqrt[3]{10x-25}) $$</h3>
1500							   
1501	 
1502	
1503	<h3>Solución:</h3>
1504	
1505		
1506		
1507		 
1508		
1509		
1510		<p>Recordad que las raíces pueden escribirse como potencias: </p>
1511
1512		<p>$$ \sqrt[n]{a} = a^{1/n} $$</p>
1513
1514		<p>Escribimos las raíces como potencias:</p> 
1515
1516		<p>$$ \log \left(  x^{1/2} \right) + \log \left(  x^{1/6} \right)=  \log \left(  (10x-25)^{1/3} \right) $$</p>
1517
1518		<p>Extraemos los exponentes: </p>
1519
1520		<p>$$ \frac{1}{2}\cdot \log ( x ) + \frac{1}{6}\cdot \log ( x )= \frac{1}{3}\cdot \log (10x-25) $$</p>
1521
1522		<p>Sumamos los logaritmos de la izquierda: </p>
1523
1524		<p>$$ \frac{2}{3}
1524\cdot \log ( x ) =  \frac{1}{3}\cdot \log (10x-25) $$</p>
1525
1526		<p>Los 3 se cancelan: </p>
1527
1528		<p>$$ 2 \cdot \log ( x ) = \log (10x-25) $$</p>
1529
1530		<p>$$ \log (x^2) = \log (10x-25) $$</p>
1531
1532		<p>Igualamos los argumentos:</p> 
1533
1534		<p>$$ x^2 = 10x -25 $$</p>
1535
1536		<p>$$ x^2 -10x  + 25 = 0 $$</p>
1537
1538		<p>Resolvemos la ecuación de segundo grado: </p>
1539
1540		<p>$$ x = \frac{10\pm \sqrt{0}}{2} = 5 $$</p>
1541
1542		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 5\).</p>
1543	
1544		
1545	
1546		
1547		 	
1548	</div><!--EPEj22-->
1549	<br>
1550	
1551	
1552	
1553	<!--PEj23-->
1554	<div class="PE">
1555	
1556	<h2 align="left">Ecuación 23</h2>
1557	
1558	
1559		<h3 align="center">$$ \log_4 (x+1) = \log_2 (x-1) $$</h3>
1560		
1561		<p><strong>Ayuda:</strong> podéis cambiar la base de los logaritmos. </p>
1562							   
1563	 
1564	
1565	<h3>Solución:</h3>
1566	
1567		 
1568		
1569		
1570		<p>Vamos a aplicar un cambio de base al logaritmo del lado izquierda. Lo escribiremos en base \(2\). </p>
1571
1572		<p>Recordad que la fórmula para cambiar de base es: </p>
1573
1574		<p>$$ \log_b (a) = \frac{ \log_c (a) }{ \log_c (b) } $$</p>
1575
1576		<p>$$ \log_4 (x+1) = \frac{ \log_2 (x+1) }{ \log_2 (4) } =$$</p>
1577
1578		<p>$$ = \frac{ \log_2 (x+1) }{ \log_2 (2^2) } = \frac{ \log_2 (x+1) }{ 2 } $$</p>
1579
1580		<p>Por tanto, la ecuación se transforma en la siguiente: </p>
1581
1582		<p>$$ \frac{ \log_2 (x+1) }{ 2 } = \log_2 (x-1) $$</p>
1583
1584		<p>Pasamos el denominador al otro lado: </p>
1585
1586		<p>$$ \log_2 (x+1) = 2 \cdot \log_2 (x-1) $$</p>
1587
1588		<p>Ahora lo introducimos como un exponente:</p> 
1589
1590		<p>$$ \log_2 (x+1) = \log_2 ((x-1)^2) $$</p>
1591
1592		<p>Como tenemos una igualdad entre dos logaritmos con la misma base, igualamos sus argumentos y resolvemos la ecuación: </p>
1593
1594		<p>$$ x +1 = (x-1)^2 $$</p>
1595
1596		<p>Desarrollamos el <a href="https://www.matesfacil.com/ESO/newton/ejercicios-resueltos-cuadrado-de-la-suma-binomio-de-newton.html">cuadrado del binomio</a>: </p>
1597
1598		<p>$$ x +1 = x^2 -2x +1 $$</p>
1599
1600		<p>$$ x^2 -3x = 0 $$</p>
1601
1602		<p>Resolvemos la ecuación incompleta:</p>
1603
1604		<p>$$ x(x-3) = 0 $$</p>
1605
1606		<p>Una solución es \(x = 0\) y la otra es \(x = 3\).</p> 
1607
1608		<p>Comprobamos si los argumentos de la ecuación logarítmica son positivos con estas soluciones: </p>
1609		
1610		<ul>
1611			<li>
1612				<p>Si \(x=0\), el argumento del logaritmo de la derecha es negativo. <strong>No</strong> es válida. </p>
1613			</li>
1614			
1615			<li>
1616				<p>Si \(x = 3\), los dos argumentos son positivos.</p>
1617			</li>
1618			
1619		</ul>
1620
1621		 
1622
1623		<p>Por tanto, la única solución de la ecuación logarítmica es \(x = 3\). </p>
1624	
1625		
1626	
1627		
1628		 
1629	</div><!--EPEj23-->
1630	<br>
1631	
1632	
1633	
1634	<!--PEj24-->
1635	<div class="PE">
1636	
1637	<h2 align="left">Ecuación 24</h2>
1638	
1639	
1640		<h3 align="center">$$  \log(x+3) + \log(x-3) = \log(x) +\log(x-1) $$</h3>
1641							   
1642	 
1643	
1644	<h3>Solución:</h3>
1645	
1646		
1647		
1648		
1649		<p>Sumamos los logaritmos en ambos lados: </p>
1650
1651		<p>$$ \log ((x+3)(x-3)) = \log (x(x-1)) $$</p>
1652
1653		<p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación: </p>
1654
1655		<p>$$ (x+3)(x-3) = x(x-1) $$</p>
1656
1657		<p>Calculamos los productos: </p>
1658
1659		<p>$$ x^2 -9 = x^2-x $$</p>
1660
1661		<p>$$ -9 = -x $$</p>
1662
1663		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 9\).</p>
1664	
1665		
1666		
1667		 	
1668	</div><!--EPEj24-->
1669	<br>
1670	
1671	
1672	
1673	<!--PEj25-->
1674	<div class="PE">
1675	
1676	<h2 align="left">Ecuación 25</h2>
1677	
1678	
1679		<h3 align="center">$$ \log(\sqrt{x}) - \log(x^2) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$</h3>
1680							   
1681	 
1682	
1683	<h3>Solución:</h3>
1684	
1685		
1686		
1687		<p>Observad que \(x\) no puede ser negativo (porque hay una raíz), ni \(0\) (para no anular argumentos ni el denominador). </p>
1688
1689		<p>Recordad que la raíz cuadrada de \(x\) es la potencia \(x^{1/2}\).</p>
1690
1691		<p>$$ \log(x^{1/2}) - \log(x^2) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$</p>
1692
1693		
1694
1695		<p>Restamos los logaritmos:</p>
1696		<p>$$ \log\left(\frac{x^{1/2}}{x^2}\right) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$</p>
1697		<p>Restamos los exponentes:</p>
1698		<p>$$ \log(x^{-3/2}) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$</p>
1699		<p>Igualamos argumentos:</p>
1700
1701		<p>$$ x^{-3/2} = \frac{2}{x} $$</p> 
1702		<p>$$ x\cdot x^{-3/2} = 2 $$</p> 
1703		<p>$$ x^{-1/2} = 2 $$</p> 
1704		<p>Hacemos el inverso:</p>
1705		<p>$$ x^{1/2}
1705 = 2^{-1} = \frac{1}{2} $$</p>
1706		<p>Elevamos al cuadrado:</p>
1707		<p>$$ x = \frac{1}{4} $$</p>
1708
1709
1710		<p>La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 1/4\).</p>
1711	
1712		
1713		 
1714	
1715		
1716		 	
1717	</div><!--EPEj25-->
1718	<br>
1719	
1720	
1721	
1722	<!--PEj26-->
1723	<div class="PE">
1724	
1725	<h2 align="left">Ecuación 26</h2>
1726	
1727	
1728		<h3 align="center">$$ \log_{5x^2-6x} (8) = \log_{x} (2) $$</h3>
1729							   
1730	 	<p><strong>Ayuda:</strong> cambiad los logaritmos a base binaria (base 2). </p>
1731	
1732	
1733	<h3>Solución:</h3>
1734	
1735		
1736		
1737		<p>Cambiamos la base del logaritmo de la izquierda:</p> 
1738
1739		<p>$$ \log_{5x^2-6x} (8) = \frac{\log_2(8)}{\log_2(5x^2-6x)} =$$</p>
1740
1741		<p>$$ = \frac{3}{\log_2(5x^2-6x)} $$</p>
1742
1743		<p>Cambiamos la base del otro logaritmo: </p>
1744
1745		<p>$$ \log_{x} (2) = \frac{\log_2(2)}{\log_2(x)} =$$</p>
1746
1747		<p>$$ = \frac{1}{\log_2(x)} $$</p>
1748
1749		<p>La ecuación que obtenemos es </p>
1750
1751		<p>$$ \frac{3}{ \log_2(5x^2-6x) } = \frac{1}{ \log_2(x) }  $$</p>
1752
1753		<p>Pasamos los denominadores al otro lado:</p> 
1754
1755		<p>$$  3\log_2(x) = \log_2(5x^2-6x) $$</p>
1756
1757		<p>$$\log_2(x^3) = \log_2(5x^2-6x) $$</p>
1758
1759		<p>Igualamos los argumentos:</p> 
1760
1761		<p>$$ x^3 = 5x^2 -6x $$</p>
1762
1763		<p>$$ x^3 -5x^2 +6x = 0 $$</p>
1764
1765		<p>Extraemos factor común: </p>
1766
1767		<p>$$ x(x^2-5x+6) = 0 $$</p>
1768
1769		<p>Una solución es \(x = 0\). Calculamos las otras: </p>
1770
1771		<p>$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{25-4\cdot 6}}{2} = $$</p>
1772
1773		<p>$$ = \frac{5 \pm 1}{2} $$</p>
1774
1775		<p>Las soluciones son \(x = 3\) y \(x = 2\).</p> 
1776
1777		<p>La solución \(x = 0\) <strong>no</strong> es válida porque la base de un logaritmo no puede ser 0. </p>
1778
1779		<p>Las soluciones de la ecuación logarítmica son \(x = 3\) y \(x = 2\).</p>
1780	
1781		
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1783	
1784		
1785		 	
1786	</div><!--EPEj26-->
1787	<br>
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1794	<br>
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1806	<br>
1807		<hr>
1808		<h3 align="center"><a  style="color: rgba(30,4,138,1.00)" href="http://www.logaritmo.info">Logaritmo.info © - 2018</a></h3>	
1809	<br><br>
1810	
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1943	</div><!--EHojatext-->
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1951<div id="hojaLAT">
1952	<div id="hojaLATinner">
1953	
1954	
1955	
1956	
1957	<div class="boton">
1958	<a href="http://logaritmo.info/concepto/calcular-logaritmos-ejemplos-decimal-binario-natural-ejercicios-resueltos.html">
1959	<div class="boton2">
1960		Concepto
1961	</div>
1962	</a>
1963	</div>
1964			
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1967	
1968	
1969	
1970	<div class="boton">
1971	<a href="http://logaritmo.info/propiedades/propiedades-producto-division-potencia-ejercicios-resueltos.html">
1972	<div class="boton2">
1973		Propiedades
1974	</div>
1975	</a>
1976	</div>
1977			
1978	
1979	
1980	
1981	
1982	
1983	
1984	<div class="boton">
1985	<a href="http://logaritmo.info/cambio/formula-ejemplos-ejercicios-resueltos-cambio-base-decimal-natural.html">
1986	<div class="boton2">
1987		Cambio de base
1988	</div>
1989	</a>
1990	</div>
1991			
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2000	
2001	<div class="boton">
2002	<a href="http://logaritmo.info/sistemas/sistemas-ecuaciones-logaritmicas-resueltos-explicados.html">
2003	<div class="boton2">
2004		Sistemas de ecuaciones logarítmicas
2005	</div>
2006	</a>
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2018		Ecuaciones exponenciales
2019	</div>
2020	</a>
2021	</div>
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2023	
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2026	<div class="boton2">
2027		Ecuaciones exponenciales (con logaritmos)
2028	</div>
2029	</a>
2030	</div>
2031			
2032	
2033	
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2035	<a href="http://logaritmo.info/funcion/funcion-logaritmo-dominio-imagen-derivada-integral.html">
2036	<div class="boton2">
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2038	</div>
2039	</a>
2040	</div>
2041			
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2044			
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2052	</div>
2053	</a>
2054	</div>
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2068	</div>
2069	</a>
2070	</div>
2071			
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2079	</div>
2080	</a>
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2089	</div>
2090	</a>
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2099	</div>
2100	</a>
2101	</div>
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2104	
2105	
2106	
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2109	<div class="boton2">
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2111	</div>
2112	</a>
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2133</html>

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