1<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd"> 2<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="es"> 3<head> 4 5 6<!--GogAutoAd-->
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110 111<!--Etex--> 112 113 114 115 116 117 118<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" /> 119<title>Ecuaciones logaritmicas resueltas</title> 120<meta name="keywords" content="logaritmo, logaritmos, ecuaciones, ecuacion, logaritmica, propiedades, base, incognita, resolucion, resuelta, resueltas, ejemplos, resolver, ejercicio, ejercicios, incognita, soucion, soluciones, comprobar, argumento, exponente, valor, absoluto, bachillerato" /> 121<meta name="description" content="En esta pagina resolvemos 26 ecuaciones logaritmicas. Tendremos que aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar las ecuaciones. Igualaremos los argumentos de los logaritmos para calcular la solucion. Bachiller. Bachillerato." /> 122 123 124</head> 125 126<body> 127 128<div id="barra"> 129 130 <div id="minimenu" onClick="verMenu()"> 131 132 <div class="minimenubarra"></div> 133 <div class="minimenubarra"></div> 134 <div class="minimenubarra"></div> 135 </div> 136 137 <a href="http://www.logaritmo.info" style="text-decoration: none;"> 138 139 <div id="tit"> 140 <h1></h1> 141 </div> 142 143 144 </a> 145 146 147 148</div><!--EBarra--> 149 150 151<div id="hoja2"> 152 153 <div class="hojatexto"> 154 <h1 align="center">26 ecuaciones logarÃtmicas resueltas</h1> 155 156 157 <p>Una <strong>ecuación logarÃtmica</strong> es una ecuación cuya incógnita (o incógnitas) se encuentra multiplicando o dividiendo a los logaritmos, en sus bases o en el argumento de los logaritmos (dentro de los logaritmos).</p> 158 159 160 <!--PE1--> 161 <div class="PE"> 162 163 <h2 align="center">Ejemplos</h2> 164 165 <ul> 166 <li> 167 <p>Incógnita en el argumento:</p> 168 <h3>$$ \log_{2}(2x+4) = 3$$</h3> 169 <p>La solución es \(x = 2\).</p> 170 </li> 171 172 <li> 173 <p>Incógnita en la base:</p> 174 <h3>$$ \log_x (7) = 3 $$</h3> 175 <p>La solución es \( x = \sqrt[3]{7} \) (Ecuación 9).</p> 176 </li> 177 178 <li> 179 <p>Incógnita multiplicando:</p> 180 <h3>$$ x\cdot \log (3) + 5 = x\cdot \log(9) $$</h3> 181 <p>La solución es \( x = 5/\log(3) \).</p> 182 </li> 183 184 </ul> 185 186 </div><!--EPE1--> 187 188 <p>En esta página nos vamos a centrar en las ecuaciones logarÃtmicas con la incógnita en los argumentos (como la primera ecuación de los ejemplos), aunque también resolveremos alguna ecuación de los otros tipos.</p> 189 190 <p>Para poder resolver la ecuación es imprescindible conocer las <a href="http://logaritmo.info/propiedades/propiedades-producto-division-potencia-ejercicios-resueltos.html">propiedades de los logaritmos</a> y las <a href="https://www.matesfacil.com/resueltos-potencias.htm">propiedades de las potencias</a>. Además, la resolución de estas ecuaciones conlleva la resolución de otro tipo de ecuaciones: <a href="http://ecuacionesresueltas.com">ecuaciones lineales</a>, <a href="http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/segundo-grado/problemas-ecuaciones-segundo-grado-resueltas-solucion-formula-raices-factorizar.html">de segundo grado</a>, de grados altos, <a href="https://www.matesfacil.com/ejercicios-resueltos-ecuaciones-radicales.html">irracionales</a>, <a href="http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/exponenciales/ecuaciones-exponenciales-resueltas-ejemplos-explicadas-soluciones-raices-exponentes.html">exponenciales</a>, etc. Esto depende de las expresiones algebraicas de los argumentos. </p> 191 192 <p>En esta página v<strong>amos a resolver 26 ecuaciones logarÃtmicas</strong>. Iremos aumentado el grado de dificultad poco a poco. 193 Una vez sepamos resolver estas ecuaciones, podemos pasar a los <a href="http://logaritmo.info/sistemas/sistemas-ecuaciones-logaritmicas-resueltos-explicados.html">sistemas de ecuaciones logarÃtmicas</a>. 194 </p> 195 196 <p>Conocimientos imprescindibles:</p> 197 198 <ul> 199 <li> 200 <p><a href="http://logaritmo.info/propiedades/propiedades-producto-division-potencia-ejercicios-resueltos.html">Propiedades de los logaritmos</a></p> 201 </li> 202 <li> 203 <p><a href="http://logaritmo.info/cambio/formula-ejemplos-ejercicios-resueltos-cambio-base-decimal-natural.html">Cambio de base</a></p> 204 </li> 205 206 207 </ul> 208 209 210 211 <p><strong>Nivel orientativo:</strong> educación secundaria y preuniversitaria.</p> 212 213 214 215 216 <h1 align="center">Ecuaciones resueltas</h1> 217 218 <!--gogadstope1--> 219
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230 231 <!--Endgogadstope1--> 232 <br> 233 234 <!--PE1--> 235 <div class="PE"> 236 237 <h2 align="center">Recordatorio</h2> 238 239 <ul> 240 <li> 241 <p>Si dos logaritmos (en la misma base) son iguales, sus argumentos también: </p> 242 <h3>$$ \log_b (x) = \log_b (y) \Rightarrow x = y $$</h3> 243 244 </li> 245 246 <li> 247 <p>El argumento de un logaritmo <strong>debe ser positivo</strong> (es recomendable <strong>comprobar</strong> que las soluciones no hacen que los argumentos sean no positivos). </p> 248 249 </li> 250 251 <li> 252 <p>La base de un logaritmo debe ser positiva y distinta de 1.</p> 253 </li> 254 255 </ul> 256 257 <p>Si no se indica la base, consideraremos que es la decimal: </p> 258 <p>$$ \log(x) = \log_{10}(x) $$</p> 259 260 261 262 </div><!--EPE1--> 263 264 <br> 265 266 <!--PEj1--> 267 <div class="PE"> 268 269 <h2 align="left">Ecuación 1</h2> 270 271 272 <h3 align="center">$$ \log(2) + \log( x+3 ) = \log(x+5) $$</h3> 273 274 275 <h3>Solución:</h3> 276 277 278 279 280 281 282 283 <p>La suma de dos logaritmos es el logaritmo del producto:</p> 284 285 <p>$$ \log(2\cdot (x+3) ) = \log(x+5) $$</p> 286 287 <p>$$ \log (2x +6 ) = \log(x+5) $$</p> 288 289 <p>Como los dos logaritmos son iguales, sus argumentos tienen que ser iguales. Por tanto, </p> 290 291 <p>$$ 2x +6 = x +5 $$</p> 292 293 <p>Resolvemos la <a href="http://ecuacionesresueltas.com">ecuación de primer grado</a>: </p> 294 295 <p>$$ 2x -x = 5 -6 $$</p> 296 297 <p>$$ x = -1 $$</p> 298 299 <p>Es recomendable que siempre comprobéis que los argumentos de los logaritmos de la ecuación inicial son positivos al sustituir la solución obtenida.</p> 300 301 <p>Comprobamos si la solución es válida:</p> 302 303 <p>\( x+3 = -1 +3 = 2 > 0 \)</p> 304 305 <p>\( x + 5 = -1 +5 = 4 > 0 \)</p> 306 307 <p>La solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = -1\). </p> 308 309 310 311 </div><!--EPEj1--> 312 <br> 313 <!--gogadstope2--> 314
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436 437 <!--Endgogadstope3--> 438 <br> 439 440 441 442 443 444 <!--PEj4--> 445 <div class="PE"> 446 447 <h2 align="left">Ecuación 4</h2> 448 449 450 <h3 align="center">$$ \log(15-2x) = 2\log(x) $$</h3> 451 452 453 454 <h3>Solución:</h3> 455 456 457 458 <p>El 2 pasa dentro del logaritmo como exponente:</p> 459 460 <p>$$ \log(15-2x) = \log(x^2) $$</p> 461 462 <p>Igualamos los argumentos: </p> 463 464 <p>$$ 15 -2x = x^2 $$</p> 465 466 <p>$$x^2 +2x -15 = 0 $$</p> 467 468 <p>Resolvemos la <a href="https://www.matesfacil.com/resueltos-ecuaciones-segundo-grado.htm">ecuación de segundo grado completa</a>: </p> 469 470 <p>$$ x =\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot (-15) }}{2} = $$</p> 471 472 <p>$$ =\frac{-2\pm \sqrt{ 64 }}{2} = $$</p> 473 474 <p>$$ =\frac{-2\pm 8 }{2} = $$</p> 475 476 <p>$$ =-1\pm 4 $$</p> 477 478 <p>Las soluciones son \(x = 3\) y \(x = -5\). </p> 479 480 <p>La solución negativa <strong>no</strong> es válida porque el logaritmo de la derecha tendrÃa argumento no positivo.</p> 481 482 <p>Por tanto, la solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = 3\).</p> 483 484 485 486 </div><!--EPEj4--> 487 <br> 488 489 490 491 492 493 <!--PEj5--> 494 <div class="PE"> 495 496 <h2 align="left">Ecuación 5</h2> 497 498 499 <h3 align="center">$$ \log( 2x + 5 ) + \log( 2x - 5 ) = 2\log(x) +\log(3) $$</h3> 500 501 502 503 <h3>Solución:</h3> 504 505 506 507 <p>Sumamos los logaritmos de la izquierda: </p> 508 509 <p>$$ \log ((2x+5)\cdot (2x - 5)) = 2\log(x) +\log(3) $$</p> 510 511 <p>$$ \log ( 4x^2 -25 ) = 2\log(x) +\log(3) $$</p> 512 513 <p>Para poder sumar los logaritmos de la derecha tenemos que eliminar el coeficiente 2 que tiene uno de ellos. Como el 2 multiplica al logaritmo, entra como exponente de su argumento: </p> 514 515 <p>$$ \log ( 4x^2 -25 ) = \log(x^2) +\log(3) $$</p> 516 517 <p>Ahora podemos sumar los logaritmos: </p> 518 519 <p>$$ \log ( 4x^2 -25 ) = \log(3x^2) $$</p> 520 521 <p>Igualamos los argumentos: </p> 522 523 <p>$$ 4x^2 -25 =3x^2 $$</p> 524 525 <p>$$ x^2 -25 = 0 $$</p> 526 527 <p>Resolvemos la <a href="https://www.matesfacil.com/resueltos-ecuaciones-segundo-grado-incompletas.html">ecuación de segundo grado incompleta</a>:</p> 528 529 <p>$$ x^2 = 25 $$</p> 530 531 <p>$$ x = \pm 5 $$</p> 532 533 <p>La solución \(x = -5\) <strong>no es válida</strong> porque hace que el argumento del logaritmo \(\log(x)\) sea negativo.</p> 534 535 <p>La única solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = 5\). </p> 536 537 538 539 540 </div><!--EPEj5--> 541 <br> 542 <!--gogadstope4--> 543
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554 555 <!--Endgogadstope4--> 556 <br> 557 558 <!--PEj6--> 559 <div class="PE"> 560 561 <h2 align="left">Ecuación 6</h2> 562 563 564 <h3 align="center">$$ 3\log(x) = \log(3x) + \log (2x-3) $$</h3> 565 566 567 568 <h3>Solución:</h3> 569 570 571 <p>El 3 que hay en el lado izquierdo entra en el logaritmo; en el lado derecho sumamos los logaritmos: </p> 572 573 <p>$$ \log(x^3) = \log(3x\cdot (2x-3)) $$</p> 574 575 <p>Igualamos los argumentos: </p> 576 577 <p>$$ x^3 = 3x(2x-3) $$</p> 578 579 <p>Desarrollamos el producto de la derecha:</p> 580 581 <p>$$ x^3 = 6x^2 -9x $$</p> 582 583 <p>$$ x^3 -6x^2 +9x =0$$</p> 584 585 <p>La ecuación obtenida es de tercer grado, pero podemos extraer el factor común \(x\):</p> 586 587 <p>$$ x(x^2 -6x +9) = 0 $$</p> 588 589 <p>Una de las soluciones es \(x = 0\). Calculamos las otras resolviendo la ecuación de segundo grado: </p> 590 591 <p>$$ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 â 4\cdot 9}}{2} = $$</p> 592 593 <p>$$ = \frac{6 \pm 0}{2} = 3 $$</p> 594 595 <p>Tenemos otra solución: \( x = 3\).</p> 596 597 <p>La primera solución obtenida <strong>no es solución</strong> de la ecuación logarÃtmica porque harÃa que los argumentos de los tres logaritmos sean no positivos. </p> 598 599 <p>La única solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = 3\).</p> 600 601 602 603 604 </div><!--EPEj6--> 605 <br> 606 607 608 609 <!--PEj7--> 610 <div class="PE"> 611 612 <h2 align="left">Ecuación 7</h2> 613 614 615 <h3 align="center">$$ \log ( \sqrt{x^2-3x+2} ) =\log ( x ) $$</h3> 616 617 618 619 620 <h3>Solución:</h3> 621 622 623 624 625 <p>Igualamos los argumentos:</p> 626 627 <p>$$ \sqrt{x^2-3x+2} = x $$</p> 628 629 <p>Se trata de una <a href="https://www.matesfacil.com/ejercicios-resueltos-ecuaciones-radicales.html">ecuación irracional</a>. Para resolverla, elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado. </p> 630 631 <p>$$ x^2 -3x+2 = x^2 $$</p> 632 633 <p>$$ -3x +2 = 0 $$</p> 634 635 <p>$$ x = \frac{2}{3} $$</p> 636 637 <p>La solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = 2/3\).</p> 638 639 640 641 642 643 644 645 </div><!--EPEj7--> 646 <br> 647 <!--gogadstope5--> 648
648<script async src="https://pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js?client=ca-pub-3309204359100394" 649 crossorigin="anonymous"></script>
649 650 <!-- adtope --> 651 <ins class="adsbygoogle" 652 style="display:block" 653 data-ad-client="ca-pub-3309204359100394" 654 data-ad-slot="6056608397" 655 data-ad-format="auto" 656 data-full-width-responsive="true"></ins> 657
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659 660 <!--Endgogadstope5--> 661 <br> 662 663 664 665 <!--PEj8--> 666 <div class="PE"> 667 668 <h2 align="left">Ecuación 8</h2> 669 670 671 <h3 align="center">$$ \log_3 ( x ) = \log_9 ( 4 ) $$</h3> 672 673 <p><strong>Ayuda:</strong> cambiad los logaritmos a logaritmos en base 3. </p> 674 675 <p>$$ \log_b (a) = \frac{ \log_c (a) }{\log_c(b)} $$</p> 676 677 <h3>Solución:</h3> 678 679 680 681 682 <p>La ecuación es una igualdad entre logaritmos, pero no podemos igualar sus argumentos porque sus bases no son las mismas. Por eso, cambiamos a base 3 el logaritmo de la derecha (base 9): </p> 683 684 <p>$$ \log_9 (4) = \frac{ \log_3 (4) }{ \log_3 (9) } $$</p> 685 686 <p>Observad que el logaritmo en base 3 de 9 es 2:</p> 687 688 <p>$$ \log_3 (9) = \log_3 (3^2) = 2 $$</p> 689 690 <p>Por tanto, la ecuación resultante es </p> 691 692 <p>$$ \log_3 ( x ) = \frac{ \log_3 (4) }{ 2 } $$</p> 693 694 <p>Pasamos el 2 multiplicando: </p> 695 696 <p>$$ 2\cdot \log_3 (x) = \log_3 (4) $$</p> 697 698 <p>$$ \log_3 (x^2) = \log_3 (4) $$</p> 699 700 <p>Ahora tenemos una igualdad entre logaritmos en la misma base. Podemos igualar sus argumentos: </p> 701 702 <p>$$ x^2 = 4 $$</p> 703 704 <p>Las soluciones de la <a href="https://www.matesfacil.com/resueltos-ecuaciones-segundo-grado-incompletas.html">ecuación de segundo grado incompleta</a> son \( x = -2\) y \( x = 2\).</p> 705 706 <p>La primera de las soluciones <strong>no es válida</strong> porque hace que el argumento del logaritmo sea no positivo.</p> 707 708 <p>La solución de la ecuación logarÃtmica es \( x = 2\).</p> 709 710 711 712 713 </div><!--EPEj8--> 714 <br> 715 716 717 718 <!--PEj9--> 719 <div class="PE"> 720 721 <h2 align="left">Ecuación 9</h2> 722 723 724 <h3 align="center">$$ \log_x (7) = 3 $$</h3> 725 726 <p><strong>Ayuda:</strong> cambiad el logaritmo a la base 7. </p> 727 728 729 730 <h3>Solución:</h3> 731 732 733 734 <p>La fórmula del cambio de base es</p> 735 736 <p>$$ \log_b {a} = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)} $$</p> 737 738 <p>Cambiamos a base 7 el logaritmo: </p> 739 740 <p>$$ \log_{x} (7) = \frac{\log_7(7)}{\log_7(x)} =$$</p> 741 742 <p>$$ = \frac{1}{\log_7(x)} $$</p> 743 744 <p>La ecuación resultante es </p> 745 746 <p>$$ \frac{1}{\log_7(x)} = 3 $$</p> 747 748 <p>Observad que ahora la incógnita está en el argumento en lugar de la base. </p> 749 750 <p>Pasamos el denominador multiplicando al otro lado: </p> 751 752 <p>$$ 1 = 3\cdot \log_7 (x) $$</p> 753 754 <p>Pasamos el 3 dentro del logaritmo: </p> 755 756 <p>$$ 1 = \log_7 (x^3) $$</p> 757 758 <p>Podemos escribir el 1 como el logaritmo \(\log_7(7)\):</p> 759 760 <p>$$ \log_7 (7) = \log_7 (x^3) $$</p> 761 762 <p>Igualamos los argumentos:</p> 763 764 <p>$$ x^3 = 7 $$</p> 765 766 <p>Hacemos la raÃz cúbica: </p> 767 768 <p>$$ x = \sqrt[3]{7} $$</p> 769 770 <p>Luego la solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = \sqrt[3]{7}\).</p> 771 772 773 774 775 </div><!--EPEj9--> 776 <br> 777 <!--gogadstope6--> 778
778<script async src="https://pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js?client=ca-pub-3309204359100394" 779 crossorigin="anonymous"></script>
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789 790 <!--Endgogadstope6--> 791 <br> 792 793 794 795 796 <!--PEj10--> 797 <div class="PE"> 798 799 <h2 align="left">Ecuación 10</h2> 800 801 802 <h3 align="center">$$ \log ( 6x ) - \log ( \sqrt{6x} ) = \log ( \sqrt{x^2+9 }) $$</h3> 803 804 805 806 <h3>Solución:</h3> 807 808 809 810 <p>Recordad que una raÃz se puede escribir como una potencia:</p> 811 812 <p>$$ \sqrt{a} = a^{1/2} $$</p> 813 814 <p>Extraemos los exponentes de los logaritmos:</p> 815 816 <p>$$ \log(6x) - \frac{1}{2} \cdot \log(6x) = \frac{1}{2} \cdot \log ( x^2+9 ) $$</p> 817 818 <p>Como los logaritmos del lado izquierdo son iguales, podemos extraer factor común: </p> 819 820 <p>$$ \left (1 - \frac{1}{2} \right) \cdot \log (6x) = \frac{1}{2} \cdot \log ( x^2+9 ) $$</p> 821 822 <p>$$ \frac{1}{2} \cdot \log (6x) = \frac{1}{2} \cdot \log ( x^2+9 ) $$</p> 823 824 <p>Las dos fracciones se cancelan: </p> 825 826 <p>$$ \log (6x) = \log (x^2 +9 ) $$</p> 827 828 <p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación de segundo grado completa: </p> 829 830 <p>$$ 6x = x^2 + 9 $$</p> 831 832 <p>$$ x^2 -6x + 9 = 0 $$</p> 833 834 <p>$$ x = \frac{ 6 \pm 0}{2} = 3 $$</p> 835 836 <p>La solución de la ecuación logarÃtmica es \( x = 3\).</p> 837 838 839 840 841 842 </div><!--EPEj10--> 843 <br> 844 845 846 847 <!--PEj11--> 848 <div class="PE"> 849 850 <h2 align="left">Ecuación 11</h2> 851 852 853 <h3 align="center">$$ \log_{x+3} (9) = \log_{5}(3) $$</h3> 854 855 <p><strong>Ayuda:</strong> cambiad la base de los logaritmos (al menos, el de la izquierda). </p> 856 857 858 <h3>Solución:</h3> 859 860 861 <p>Si cambiamos la base del logaritmo de la izquierda, la incógnita dejará de estar en la base del logaritmo y lo estará en el argumento. Ahora bien, hay que elegir la nueva base.</p> 862 863 <p>Como los argumentos de los logaritmos son potencias de 3, escogemos la base 3 para simplificar la ecuación.</p> 864 865 <p>Recordad la fórmula del cambio de base:</p> 866 867 <p>$$ \log_b {a} = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)} $$</p> 868 869 <p>Cambiamos a base 3 el logaritmo de la izquierda: </p> 870 871 <p>$$ \log_{x+3} (9) = \frac{\log_3(9)}{\log_3(x+3)} =$$</p> 872 873 <p>$$ = \frac{ 2 }{\log_3(x+3)} $$</p> 874 875 <p>Cambiamos la base del otro logaritmo:</p> 876 877 <p>$$ \log_{5} (3) = \frac{\log_3(3)}{\log_3(5)} =$$</p> 878 879 <p>$$ = \frac{ 1 }{\log_3(5)} $$</p> 880 881 <p>La ecuación resultante es</p> 882 883 <p>$$ \frac{ 2 }{ \log_3(x+3) } = \frac{ 1 }{ \log_3(5) } $$</p> 884 885 <p>Pasamos los denominadores multiplicando al otro lado:</p> 886 887 <p>$$ 2\log_3(5) = \log_3(x+3) $$</p> 888 889 <p>$$ \log_3(5^2) = \log_3(x+3) $$</p> 890 891 <p>$$ \log_3(25) = \log_3(x+3) $$</p> 892 893 <p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:</p> 894 895 <p>$$ 25 = x+3 $$</p> 896 897 <p>$$ x = 25 -3 = 22 $$</p> 898 899 <p>La solución de la ecuación logarÃtmica es \( x = 22\).</p> 900 901 902 903 904 905 906 </div><!--EPEj11--> 907 <br> 908 <!--gogadstope7--> 909
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918<script> 919 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 920 </script>
920 921 <!--Endgogadstope7--> 922 <br> 923 924 925 926 <!--PEj12--> 927 <div class="PE"> 928 929 <h2 align="left">Ecuación 12</h2> 930 931 932 <h3 align="center">$$ \log ( |x-1| ) + \log ( |x-3| ) = \log ( x^2 ) $$</h3> 933 934 <p><strong>Ayuda:</strong> resolved la ecuación como si no estuvieran los valores absolutos y luego pensad por qué están. </p> 935 936 937 <h3>Solución:</h3> 938 939 940 941 <p>Si omitimos los valores absolutos, la ecuación que tenemos es</p> 942 943 <p>$$ \log ( x-1 ) + \log ( x-3 ) = \log ( x^2 ) $$</p> 944 945 <p>Sumamos los logaritmos de la izquierda: </p> 946 947 <p>$$ \log ((x-1)(x-3)) = \log (x^2) $$</p> 948 949 <p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación: </p> 950 951 <p>$$ (x-1)(x-3) = x^2 $$</p> 952 953 <p>$$ x^2 -3x -x +3 = x^2 $$</p> 954 955 <p>$$ x^2 -4x +3 = x^2 $$</p> 956 957 <p>$$ -4x + 3 = 0 $$</p> 958 959 <p>$$ x = \frac{3}{4} $$</p> 960 961 <p>La solución es positiva, pero al sustituirla en los argumentos del lado izquierdo de la ecuación, éstos serÃan negativos. Sin embargo, la presencia de los valores absolutos solventa este problema. Si no estuvieran, la ecuación logarÃtmica no tendrÃa solución.</p> 962 963 <p>Por tanto, la solución de la ecuación logarÃtmica es \( x = 3/4 \).</p> 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 </div><!--EPEj12--> 974 <br> 975 976 977 978 <!--PEj13--> 979 <div class="PE"> 980 981 <h2 align="left">Ecuación 13</h2> 982 983 984 <h3 align="center">$$ \log ( x^2 +3x+2 ) - \log (x+1) = \log(1-x) $$</h3> 985 986 987 988 989 <h3>Solución:</h3> 990 991 992 993 994 <p>Escribimos la resta de los logaritmos como el logaritmo del cociente de sus argumentos: </p> 995 996 <p>$$ \log \left( \frac{ x^2 +3x+2 }{x+1} \right) = \log (1-x) $$</p> 997 998 <p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación: </p> 999 1000 <p>$$ \frac{ x^2 +3x+2 }{x+1} = (1-x) $$</p> 1001 1002 <p>El polinomio del denominador pasa al otro lado multiplicando:</p> 1003 1004 <p>$$ x^2 +3x +2 = (x+1)(1-x) $$</p> 1005 1006 <p>Observad que en la derecha hay una suma por diferencia:</p> 1007 1008 <p>$$ x^2 +3x +2 = (1+x)(1-x) $$</p> 1009 1010 <p>$$ x^2 +3x +2 = 1-x^2 $$</p> 1011 1012 <p>$$ 2x^2 +3x +1 = 0$$</p> 1013 1014 <p>Resolvemos la ecuación de segundo grado completa:</p> 1015 1016 <p>$$ x = \frac{ -3 \pm \sqrt{3^2 -4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}= $$</p> 1017 1018 <p>$$ = \frac{ -3 \pm \sqrt{1}}{4}$$</p> 1019 1020 <p>Las soluciones son \( x = -1/2\) y \( x = -1\). La solución \(x = -1\) <strong>no es válida</strong> porque hace que algunos argumentos se anulen.</p> 1021 1022 <p>La solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = -1/2\).</p> 1023 1024 1025 1026 1027 1028 1029 </div><!--EPEj13--> 1030 <br> 1031 1032 1033 1034 <!--PEj14--> 1035 <div class="PE"> 1036 1037 <h2 align="left">Ecuación 14</h2> 1038 1039 1040 <h3 align="center">$$ \log_2 ( 5x^2 +15x+10 ) - \log_2 (x+2) = 2 $$</h3> 1041 1042 <p><strong>Ayuda:</strong> escribid el 2 de la derecha como un logaritmo. </p> 1043 1044 1045 <h3>Solución:</h3> 1046 1047 1048 1049 1050 <p>Restamos los logaritmos de la izquierda: </p> 1051 1052 <p>$$ \log_2 \left( \frac{5x^2 +15x+10}{x+2} \right) = 2 $$</p> 1053 1054 <p>Si escribimos el 2 de la derecha como un logaritmo, tendremos una igualdad entre logaritmos. </p> 1055 1056 <p>Como la ecuación tiene logaritmos en base 2, escribimos 2 como </p> 1057 1058 <p>$$ 2 = \log_2 (2^2) = \log_2 (4) $$</p> 1059 1060 <p>La ecuación resultante es</p> 1061 1062 <p>$$ \log_2 \left( \frac{5x^2 +15x+10}{x+2} \right) = \log_2 (4) $$</p> 1063 1064 <p>Igualamos los argumentos: </p> 1065 1066 <p>$$ \frac{5x^2 +15x+10}{x+2} = 4 $$</p> 1067 1068 <p>El polinomio del denominador pasa multiplicando al otro lado:</p> 1069 1070 <p>$$ 5x^2 +15x + 10 = 4x +8 $$</p> 1071 1072 <p>$$ 5x^2 +11x +2 = 0 $$</p> 1073 1074 <p>Resolvemos la ecuación:</p> 1075 1076 <p>$$ x = \frac{ -11 \pm \sqrt{11^2 -4\cdot 5\cdot 2}}{2\cdot 5}= $$</p> 1077 1078 <p>$$ = \frac{ -11 \pm \sqrt{81}}{10}= $$</p> 1079 1080 <p>$$ = \frac{ -11 \pm 9}{10} $$</p> 1081 1082 <p>Las soluciones son \( x = -1/5\) y \( x = -2\). </p> 1083 1084 <p>La solución \(x = -2\) <strong>no es una solución válida</strong> porque hace que los argumentos de los logaritmos sean 0. </p> 1085 1086 <p>La única solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = -1/5\).</p> 1087 1088 1089 1090 1091 1092 1093 1094 1095 </div><!--EPEj14--> 1096 <br> 1097 1098 1099 1100 <!--PEj15--> 1101 <div class="PE"> 1102 1103 <h2 align="left">Ecuación 15</h2> 1104 1105 1106 <h3 align="center">$$ \log( 3^x ) + 5 = \log(9^x) $$</h3> 1107 1108 1109 1110 1111 <h3>Solución:</h3> 1112 1113 1114 <p>Extraemos los exponentes de los logaritmos: </p> 1115 1116 <p>
1116$$ x\cdot \log (3) + 5 = x\cdot \log(9) $$</p> 1117 1118 <p>Si escribimos 9 como la potencia \(3^2\), podemos extraer el exponente y tendremos dos logaritmos iguales: </p> 1119 1120 <p>$$ x\cdot \log(3) + 5 = x \cdot \log (3^2) $$</p> 1121 1122 <p>$$ x\cdot \log(3) + 5 = 2x \cdot \log (3) $$</p> 1123 1124 <p>Pasamos el logaritmo a la derecha: </p> 1125 1126 <p>$$ 5 = 2x\cdot \log(3) -x \cdot \log(3) $$</p> 1127 1128 <p>$$ 5 = x \cdot \log(3) $$</p> 1129 1130 <p>Como el logaritmo multiplica a la incógnita, pasa al otro lado dividiendo: </p> 1131 1132 <p>$$ x = \frac{5}{\log(3)} $$</p> 1133 1134 1135 1136 1137 1138 1139 1140 1141 1142 </div><!--EPEj15--> 1143 <br> 1144 1145 1146 1147 <!--PEj16--> 1148 <div class="PE"> 1149 1150 <h2 align="left">Ecuación 16</h2> 1151 1152 1153 <h3 align="center">$$ \log(x) + \log(x) = 2\log(x+1) $$</h3> 1154 1155 1156 1157 <h3>Solución:</h3> 1158 1159 1160 1161 1162 <p>Sumamos los logaritmos de la izquierda:</p> 1163 1164 <p>$$ 2\log(x) = 2\log(x+1) $$</p> 1165 1166 <p>Los doses se pueden simplificar:</p> 1167 1168 <p>$$ \log(x) = \log(x+1) $$</p> 1169 1170 <p>Igualando los argumentos, </p> 1171 1172 <p>$$ x = x+1$$</p> 1173 1174 <p>Resolvemos la ecuación: </p> 1175 1176 <p>$$ 0 = 1 $$</p> 1177 1178 <p>La ecuación logarÃtmica <strong>no tiene solución</strong>.</p> 1179 1180 1181 1182 </div><!--EPEj16--> 1183 <br> 1184 1185 1186 1187 <!--PEj17--> 1188 <div class="PE"> 1189 1190 <h2 align="left">Ecuación 17</h2> 1191 1192 1193 <h3 align="center">$$\log(x) + \log(2) = \log(x+10) - \log(3) $$</h3> 1194 1195 1196 1197 <h3>Solución:</h3> 1198 1199 1200 1201 1202 1203 1204 <p>Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos en la izquierda:</p> 1205 1206 <p>$$\log(2\cdot x) = \log(x+10) - \log(3) $$</p> 1207 1208 <p>Y la propiedad de la resta en la derecha: </p> 1209 1210 <p>$$\log(2\cdot x) = \log \left( \frac{x+10}{3} \right) $$</p> 1211 1212 <p>Como tenemos una igualdad de logaritmos, igualamos sus argumentos:</p> 1213 1214 <p>$$ 2x = \frac{x+10}{3} $$</p> 1215 1216 <p>Resolvemos la ecuación lineal:</p> 1217 1218 <p>$$ 3\cdot 2x = x+10 $$</p> 1219 1220 <p>$$ 6x = x+10 $$</p> 1221 1222 <p>$$ 5x = 10 $$</p> 1223 1224 <p>$$ x = \frac{10}{5} = 2 $$</p> 1225 1226 <p>La solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = 2\).</p> 1227 1228 1229 1230 1231 </div><!--EPEj17--> 1232 <br> 1233 1234 1235 1236 <!--PEj18--> 1237 <div class="PE"> 1238 1239 <h2 align="left">Ecuación 18</h2> 1240 1241 1242 <h3 align="center">$$ 2\log(3x) - \log(3) = \log(2x^2+1) $$</h3> 1243 1244 1245 1246 1247 <h3>Solución:</h3> 1248 1249 1250 1251 <p>El coeficiente 2 del logaritmo de la izquierda puede entrar dentro del logaritmo como un exponente:</p> 1252 1253 <p>$$ \log ((3x)^2) - \log(3) =\log(2x^2+1) $$</p> 1254 1255 <p>$$ \log(9x^2) - \log(3) =\log(2x^2+1) $$</p> 1256 1257 <p>Aplicamos la propiedad de la resta de logaritmos:</p> 1258 1259 <p>$$ \log \left( \frac{9x^2}{3}\right) = \log(2x^2+1) $$</p> 1260 1261 <p>$$ \log ( 3x^2) = \log(2x^2+1) $$</p> 1262 1263 <p>Igualamos los argumentos:</p> 1264 1265 <p>$$ 3x^2 = 2x^2 +1 $$</p> 1266 1267 <p>Resolvemos la ecuación de segundo grado: </p> 1268 1269 <p>$$ 3x^2 -2x^2 = 1 $$</p> 1270 1271 <p>$$ x^2 = 1 $$</p> 1272 1273 <p>$$ x = \pm 1 $$</p> 1274 1275 <p>Tenemos dos soluciones: \(x = 1\) y \(x=-1\). </p> 1276 1277 <p>Recordad que los argumentos de un logaritmo deben ser positivos.</p> 1278 1279 <p>Tenemos que comprobar si estas soluciones hacen que el argumento sea no positivo (en la ecuación inicial). </p> 1280 1281 <ul> 1282 <li> 1283 <p>Si \(x = 1\), el argumento \(3x\) y \(2x^2+1\) son positivos. </p> 1284 </li> 1285 <li> 1286 <p>Sin embargo, si \(x = -1\), el argumento \(3x\) es negativo. </p> 1287 </li> 1288 </ul> 1289 1290 <p>Por tanto, la única solución de la ecuación logarÃtmica es \( x = 1\). </p> 1291 1292 1293 1294 1295 1296 </div><!--EPEj18--> 1297 <br> 1298 1299 1300 1301 <!--PEj19--> 1302 <div class="PE"> 1303 1304 <h2 align="left">Ecuación 19</h2> 1305 1306 1307 <h3 align="center">$$ \log(3-x) + \log(x+3) = \log(9-x) - \log \left( \frac{1}{x}\right) $$</h3> 1308 1309 1310 1311 <h3>Solución:</h3> 1312 1313 1314 1315 1316 1317 1318 <p>En el lado izquierdo, sumamos los logaritmos:</p> 1319 1320 <p>$$ \log ((3-x)\cdot(x+3)) = \log(9-x) - \log \left( \frac{1}{x}\right) $$</p> 1321 1322 <p>Observad que </p> 1323 1324 <p>$$ \log \left( \frac{1}{x}\right) = \log (x^{-1}) = -\log(x) $$</p> 1325 1326 <p>AsÃ, podemos reescribir el lado derecho: </p> 1327 1328 <p>$$ \log ((3-x)\cdot(x+3)) = \log(9-x) + \log(x) $$</p> 1329 1330 <p>Sumamos los logaritmos en la derecha:</p> 1331 1332 <p>
1332$$ \log ( (3-x)\cdot(x+3) ) = \log( (9-x)\cdot x ) $$</p> 1333 1334 <p>Igualando los argumentos tenemos la ecuación:</p> 1335 1336 <p>$$(3-x)\cdot(x+3) = (9-x)\cdot x $$</p> 1337 1338 <p>Como en el lado izquierdo hay una suma por diferencia,</p> 1339 1340 <p>$$ 9 -x^2 = (9-x)\cdot x $$</p> 1341 1342 <p>$$ 9 -x^2 = 9x -x^2 $$</p> 1343 1344 <p>$$ 9 = 9x $$</p> 1345 1346 <p>$$ x = 1 $$</p> 1347 1348 <p>La solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = 1\).</p> 1349 1350 1351 1352 1353 1354 </div><!--EPEj19--> 1355 <br> 1356 1357 <!--PEj20--> 1358 <div class="PE"> 1359 1360 <h2 align="left">Ecuación 20</h2> 1361 1362 1363 <h3 align="center">$$ \log(3x-1) + \log(1-2x) = \log(x-1) $$</h3> 1364 1365 1366 1367 <h3>Solución:</h3> 1368 1369 1370 1371 1372 <p>Sumamos los logaritmos de la izquierda:</p> 1373 1374 <p>$$ \log((3x-1) \cdot (1-2x)) = \log(x-1) $$</p> 1375 1376 <p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:</p> 1377 1378 <p>$$ (3x-1)(1-2x) = x-1 $$</p> 1379 1380 <p>Multiplicamos los polinomios de la izquierda:</p> 1381 1382 <p>$$ 3x -6x^2 -1 +2x = x-1 $$</p> 1383 1384 <p>$$ 4x -6x^2 = 0 $$</p> 1385 1386 <p>Es una ecuación de segundo grado incompleta: </p> 1387 1388 <p>$$ 2x(2 -3x) = 0 $$</p> 1389 1390 <p>Una solución es \(x = 0\) y la otra es \( x = 2/3\). </p> 1391 1392 <p>Comprobamos si los argumentos son positivos: </p> 1393 1394 <ul> 1395 <li> 1396 <p>Si \(x = 0\), uno de los argumentos es negativo (el de la derecha: \(\log (x-1)\)). Por tanto, <strong>no es una solución válida</strong>.</p> 1397 </li> 1398 1399 <li> 1400 <p>Si \(x = 2/3\), dos argumentos son negativos. Por tanto, tampoco es una solución válida. </p> 1401 </li> 1402 </ul> 1403 1404 <p>Por tanto, la ecuación logarÃtmica no tiene solución.</p> 1405 1406 1407 1408 1409 1410 1411 </div><!--EPEj20--> 1412 <br> 1413 1414 1415 1416 <!--PEj21--> 1417 <div class="PE"> 1418 1419 <h2 align="left">Ecuación 21</h2> 1420 1421 1422 <h3 align="center">$$ \log(x+5) - \log(25-x^2) = \log(5-x) $$</h3> 1423 1424 1425 1426 <h3>Solución:</h3> 1427 1428 1429 1430 1431 1432 <p>Restamos los logaritmos: </p> 1433 1434 <p>$$ \log \left( \frac{x+5}{25-x^2} \right) = \log(5-x) $$</p> 1435 1436 <p>Igualamos los argumentos: </p> 1437 1438 <p>$$ \frac{x+5}{25-x^2} = 5-x $$</p> 1439 1440 <p>En el denominador de la fracción tenemos el resultado de una suma por una diferencia: </p> 1441 1442 <p>$$ 25 -x^2 = (5-x)(x+5) $$</p> 1443 1444 <p>Escribiendo asà el denominador, la fracción se puede simplificar:</p> 1445 1446 <p>$$ \frac{x+5}{ (5-x)(x+5) } = 5-x $$</p> 1447 1448 <p>$$ \frac{1}{5-x} = 5-x $$</p> 1449 1450 <p>Pasamos el denominador multiplicando a la derecha: </p> 1451 1452 <p>$$ 1 = (5-x)(5-x) $$</p> 1453 1454 <p>$$ 1 = 25 +x^2 -10x $$</p> 1455 1456 <p>$$ x^2 -10x +24 = 0 $$</p> 1457 1458 <p>Resolvemos la ecuación de segundo grado completa: </p> 1459 1460 <p>$$ x = \frac{ 10\pm \sqrt{100-4\cdot 24} }{ 2 } = $$</p> 1461 1462 <p>$$ = \frac{ 10\pm \sqrt{4} }{ 2 } = $$ </p> 1463 1464 <p>$$ = \frac{ 10\pm 2 }{ 2 } = $$</p> 1465 1466 <p>$$ = 5\pm 1 $$</p> 1467 1468 <p>Tenemos las soluciones \( x = 4\) y \(x = 6\). </p> 1469 1470 <p>Comprobamos si con estas soluciones los argumentos son positivos:</p> 1471 1472 <ul> 1473 <li> 1474 <p>Si \(x = 4\), los argumentos son positivos. Es una solución.</p> 1475 </li> 1476 1477 <li> 1478 <p>Si \(x = 6\), dos argumentos son no positivos. Ãsta <strong>no</strong> es una solución válida. </p> 1479 </li> 1480 1481 </ul> 1482 1483 <p>Por tanto, la única solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = 4\). </p> 1484 1485 1486 1487 1488 </div><!--EPEj21--> 1489 <br> 1490 1491 1492 1493 <!--PEj22--> 1494 <div class="PE"> 1495 1496 <h2 align="left">Ecuación 22</h2> 1497 1498 1499 <h3 align="center">$$ \log ( \sqrt{x} ) + \log( \sqrt[6]{x} ) = \log(\sqrt[3]{10x-25}) $$</h3> 1500 1501 1502 1503 <h3>Solución:</h3> 1504 1505 1506 1507 1508 1509 1510 <p>Recordad que las raÃces pueden escribirse como potencias: </p> 1511 1512 <p>$$ \sqrt[n]{a} = a^{1/n} $$</p> 1513 1514 <p>Escribimos las raÃces como potencias:</p> 1515 1516 <p>$$ \log \left( x^{1/2} \right) + \log \left( x^{1/6} \right)= \log \left( (10x-25)^{1/3} \right) $$</p> 1517 1518 <p>Extraemos los exponentes: </p> 1519 1520 <p>$$ \frac{1}{2}\cdot \log ( x ) + \frac{1}{6}\cdot \log ( x )= \frac{1}{3}\cdot \log (10x-25) $$</p> 1521 1522 <p>Sumamos los logaritmos de la izquierda: </p> 1523 1524 <p>$$ \frac{2}{3}
1524\cdot \log ( x ) = \frac{1}{3}\cdot \log (10x-25) $$</p> 1525 1526 <p>Los 3 se cancelan: </p> 1527 1528 <p>$$ 2 \cdot \log ( x ) = \log (10x-25) $$</p> 1529 1530 <p>$$ \log (x^2) = \log (10x-25) $$</p> 1531 1532 <p>Igualamos los argumentos:</p> 1533 1534 <p>$$ x^2 = 10x -25 $$</p> 1535 1536 <p>$$ x^2 -10x + 25 = 0 $$</p> 1537 1538 <p>Resolvemos la ecuación de segundo grado: </p> 1539 1540 <p>$$ x = \frac{10\pm \sqrt{0}}{2} = 5 $$</p> 1541 1542 <p>La solución de la ecuación logarÃtmica es \( x = 5\).</p> 1543 1544 1545 1546 1547 1548 </div><!--EPEj22--> 1549 <br> 1550 1551 1552 1553 <!--PEj23--> 1554 <div class="PE"> 1555 1556 <h2 align="left">Ecuación 23</h2> 1557 1558 1559 <h3 align="center">$$ \log_4 (x+1) = \log_2 (x-1) $$</h3> 1560 1561 <p><strong>Ayuda:</strong> podéis cambiar la base de los logaritmos. </p> 1562 1563 1564 1565 <h3>Solución:</h3> 1566 1567 1568 1569 1570 <p>Vamos a aplicar un cambio de base al logaritmo del lado izquierda. Lo escribiremos en base \(2\). </p> 1571 1572 <p>Recordad que la fórmula para cambiar de base es: </p> 1573 1574 <p>$$ \log_b (a) = \frac{ \log_c (a) }{ \log_c (b) } $$</p> 1575 1576 <p>$$ \log_4 (x+1) = \frac{ \log_2 (x+1) }{ \log_2 (4) } =$$</p> 1577 1578 <p>$$ = \frac{ \log_2 (x+1) }{ \log_2 (2^2) } = \frac{ \log_2 (x+1) }{ 2 } $$</p> 1579 1580 <p>Por tanto, la ecuación se transforma en la siguiente: </p> 1581 1582 <p>$$ \frac{ \log_2 (x+1) }{ 2 } = \log_2 (x-1) $$</p> 1583 1584 <p>Pasamos el denominador al otro lado: </p> 1585 1586 <p>$$ \log_2 (x+1) = 2 \cdot \log_2 (x-1) $$</p> 1587 1588 <p>Ahora lo introducimos como un exponente:</p> 1589 1590 <p>$$ \log_2 (x+1) = \log_2 ((x-1)^2) $$</p> 1591 1592 <p>Como tenemos una igualdad entre dos logaritmos con la misma base, igualamos sus argumentos y resolvemos la ecuación: </p> 1593 1594 <p>$$ x +1 = (x-1)^2 $$</p> 1595 1596 <p>Desarrollamos el <a href="https://www.matesfacil.com/ESO/newton/ejercicios-resueltos-cuadrado-de-la-suma-binomio-de-newton.html">cuadrado del binomio</a>: </p> 1597 1598 <p>$$ x +1 = x^2 -2x +1 $$</p> 1599 1600 <p>$$ x^2 -3x = 0 $$</p> 1601 1602 <p>Resolvemos la ecuación incompleta:</p> 1603 1604 <p>$$ x(x-3) = 0 $$</p> 1605 1606 <p>Una solución es \(x = 0\) y la otra es \(x = 3\).</p> 1607 1608 <p>Comprobamos si los argumentos de la ecuación logarÃtmica son positivos con estas soluciones: </p> 1609 1610 <ul> 1611 <li> 1612 <p>Si \(x=0\), el argumento del logaritmo de la derecha es negativo. <strong>No</strong> es válida. </p> 1613 </li> 1614 1615 <li> 1616 <p>Si \(x = 3\), los dos argumentos son positivos.</p> 1617 </li> 1618 1619 </ul> 1620 1621 1622 1623 <p>Por tanto, la única solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = 3\). </p> 1624 1625 1626 1627 1628 1629 </div><!--EPEj23--> 1630 <br> 1631 1632 1633 1634 <!--PEj24--> 1635 <div class="PE"> 1636 1637 <h2 align="left">Ecuación 24</h2> 1638 1639 1640 <h3 align="center">$$ \log(x+3) + \log(x-3) = \log(x) +\log(x-1) $$</h3> 1641 1642 1643 1644 <h3>Solución:</h3> 1645 1646 1647 1648 1649 <p>Sumamos los logaritmos en ambos lados: </p> 1650 1651 <p>$$ \log ((x+3)(x-3)) = \log (x(x-1)) $$</p> 1652 1653 <p>Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación: </p> 1654 1655 <p>$$ (x+3)(x-3) = x(x-1) $$</p> 1656 1657 <p>Calculamos los productos: </p> 1658 1659 <p>$$ x^2 -9 = x^2-x $$</p> 1660 1661 <p>$$ -9 = -x $$</p> 1662 1663 <p>La solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = 9\).</p> 1664 1665 1666 1667 1668 </div><!--EPEj24--> 1669 <br> 1670 1671 1672 1673 <!--PEj25--> 1674 <div class="PE"> 1675 1676 <h2 align="left">Ecuación 25</h2> 1677 1678 1679 <h3 align="center">$$ \log(\sqrt{x}) - \log(x^2) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$</h3> 1680 1681 1682 1683 <h3>Solución:</h3> 1684 1685 1686 1687 <p>Observad que \(x\) no puede ser negativo (porque hay una raÃz), ni \(0\) (para no anular argumentos ni el denominador). </p> 1688 1689 <p>Recordad que la raÃz cuadrada de \(x\) es la potencia \(x^{1/2}\).</p> 1690 1691 <p>$$ \log(x^{1/2}) - \log(x^2) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$</p> 1692 1693 1694 1695 <p>Restamos los logaritmos:</p> 1696 <p>$$ \log\left(\frac{x^{1/2}}{x^2}\right) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$</p> 1697 <p>Restamos los exponentes:</p> 1698 <p>$$ \log(x^{-3/2}) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$</p> 1699 <p>Igualamos argumentos:</p> 1700 1701 <p>$$ x^{-3/2} = \frac{2}{x} $$</p> 1702 <p>$$ x\cdot x^{-3/2} = 2 $$</p> 1703 <p>$$ x^{-1/2} = 2 $$</p> 1704 <p>Hacemos el inverso:</p> 1705 <p>$$ x^{1/2}
1705 = 2^{-1} = \frac{1}{2} $$</p> 1706 <p>Elevamos al cuadrado:</p> 1707 <p>$$ x = \frac{1}{4} $$</p> 1708 1709 1710 <p>La solución de la ecuación logarÃtmica es \(x = 1/4\).</p> 1711 1712 1713 1714 1715 1716 1717 </div><!--EPEj25--> 1718 <br> 1719 1720 1721 1722 <!--PEj26--> 1723 <div class="PE"> 1724 1725 <h2 align="left">Ecuación 26</h2> 1726 1727 1728 <h3 align="center">$$ \log_{5x^2-6x} (8) = \log_{x} (2) $$</h3> 1729 1730 <p><strong>Ayuda:</strong> cambiad los logaritmos a base binaria (base 2). </p> 1731 1732 1733 <h3>Solución:</h3> 1734 1735 1736 1737 <p>Cambiamos la base del logaritmo de la izquierda:</p> 1738 1739 <p>$$ \log_{5x^2-6x} (8) = \frac{\log_2(8)}{\log_2(5x^2-6x)} =$$</p> 1740 1741 <p>$$ = \frac{3}{\log_2(5x^2-6x)} $$</p> 1742 1743 <p>Cambiamos la base del otro logaritmo: </p> 1744 1745 <p>$$ \log_{x} (2) = \frac{\log_2(2)}{\log_2(x)} =$$</p> 1746 1747 <p>$$ = \frac{1}{\log_2(x)} $$</p> 1748 1749 <p>La ecuación que obtenemos es </p> 1750 1751 <p>$$ \frac{3}{ \log_2(5x^2-6x) } = \frac{1}{ \log_2(x) } $$</p> 1752 1753 <p>Pasamos los denominadores al otro lado:</p> 1754 1755 <p>$$ 3\log_2(x) = \log_2(5x^2-6x) $$</p> 1756 1757 <p>$$\log_2(x^3) = \log_2(5x^2-6x) $$</p> 1758 1759 <p>Igualamos los argumentos:</p> 1760 1761 <p>$$ x^3 = 5x^2 -6x $$</p> 1762 1763 <p>$$ x^3 -5x^2 +6x = 0 $$</p> 1764 1765 <p>Extraemos factor común: </p> 1766 1767 <p>$$ x(x^2-5x+6) = 0 $$</p> 1768 1769 <p>Una solución es \(x = 0\). Calculamos las otras: </p> 1770 1771 <p>$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{25-4\cdot 6}}{2} = $$</p> 1772 1773 <p>$$ = \frac{5 \pm 1}{2} $$</p> 1774 1775 <p>Las soluciones son \(x = 3\) y \(x = 2\).</p> 1776 1777 <p>La solución \(x = 0\) <strong>no</strong> es válida porque la base de un logaritmo no puede ser 0. </p> 1778 1779 <p>Las soluciones de la ecuación logarÃtmica son \(x = 3\) y \(x = 2\).</p> 1780 1781 1782 1783 1784 1785 1786 </div><!--EPEj26--> 1787 <br> 1788 1789 1790 1791 1792 1793 1794 <br> 1795 1796 1797 1798 <br> 1799 1800 1801 1802 <br> 1803 1804 1805 <br> 1806 <br> 1807 <hr> 1808 <h3 align="center"><a style="color: rgba(30,4,138,1.00)" href="http://www.logaritmo.info">Logaritmo.info © - 2018</a></h3> 1809 <br><br> 1810 1811 1812 1813 1814 1815 1816 1817 1818 1819 1820 1821 1822 1823 1824 1825 1826 1827 1828 1829 1830 1831 1832 1833 1834 1835 1836 1837 1838 1839 1840 1841 1842 1843 1844 1845 1846 1847 1848 1849 1850 1851 1852 1853 1854 1855 1856 1857 1858 1859 1860 1861 1862 1863 1864 1865 1866 1867 1868 1869 1870 1871 1872 1873 1874 1875 1876 1877 1878 1879 1880 1881 1882 1883 1884 1885 1886 1887 1888 1889 1890 1891 1892 1893 1894 1895 1896 1897 1898 1899 1900 1901 1902 1903 1904 1905 1906 1907 1908 1909 1910 1911 1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 1924 1925 1926 1927 1928 1929 1930 1931 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943 </div><!--EHojatext--> 1944 1945</div><!--EHoja2--> 1946 1947 1948 1949 1950 1951<div id="hojaLAT"> 1952 <div id="hojaLATinner"> 1953 1954 1955 1956 1957 <div class="boton"> 1958 <a href="http://logaritmo.info/concepto/calcular-logaritmos-ejemplos-decimal-binario-natural-ejercicios-resueltos.html"> 1959 <div class="boton2"> 1960 Concepto 1961 </div> 1962 </a> 1963 </div> 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 <div class="boton"> 1971 <a href="http://logaritmo.info/propiedades/propiedades-producto-division-potencia-ejercicios-resueltos.html"> 1972 <div class="boton2"> 1973 Propiedades 1974 </div> 1975 </a> 1976 </div> 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 <div class="boton"> 1985 <a href="http://logaritmo.info/cambio/formula-ejemplos-ejercicios-resueltos-cambio-base-decimal-natural.html"> 1986 <div class="boton2"> 1987 Cambio de base 1988 </div> 1989 </a> 1990 </div> 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 <div class="boton"> 2002 <a href="http://logaritmo.info/sistemas/sistemas-ecuaciones-logaritmicas-resueltos-explicados.html"> 2003 <div class="boton2"> 2004 Sistemas de ecuaciones logarÃtmicas 2005 </div> 2006 </a> 2007 </div> 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 <div class="boton"> 2016 <a href="http://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/exponenciales/ecuaciones-exponenciales-resueltas-ejemplos-explicadas-soluciones-raices-exponentes.html"> 2017 <div class="boton2"> 2018 Ecuaciones exponenciales 2019 </div> 2020 </a> 2021 </div> 2022 2023 2024 <div class="boton"> 2025 <a href="https://www.matesfacil.com/BAC/exponenciales/ecuaciones-exponenciales-resueltas-explicadas-logaritmos-natural-base-ejemplos.html"> 2026 <div class="boton2"> 2027 Ecuaciones exponenciales (con logaritmos) 2028 </div> 2029 </a> 2030 </div> 2031 2032 2033 2034 <div class="boton"> 2035 <a href="http://logaritmo.info/funcion/funcion-logaritmo-dominio-imagen-derivada-integral.html"> 2036 <div class="boton2"> 2037 Función logaritmo 2038 </div> 2039 </a> 2040 </div> 2041 2042 2043 2044 2045 2046 2047 2048 <div class="boton"> 2049 <a href="http://www.calcularporcentajeonline.com/"> 2050 <div class="boton2"> 2051 Calculadora de porcentajes 2052 </div> 2053 </a> 2054 </div> 2055 2056 2057 2058 2059 2060 2061 2062 2063 2064 <div class="boton"> 2065 <a href="http://teoremadepitagorasonline.com/"> 2066 <div class="boton2"> 2067 Calculadora de Pitágoras 2068 </div> 2069 </a> 2070 </div> 2071 2072 2073 2074 2075 <div class="boton"> 2076 <a href="http://ecuacionesresueltas.com/"> 2077 <div class="boton2"> 2078 Ecuaciones Resueltas 2079 </div> 2080 </a> 2081 </div> 2082 2083 2084 2085 <div class="boton"> 2086 <a href="http://www.problemasyecuaciones.com"> 2087 <div class="boton2"> 2088 Problemas y Ecuaciones 2089 </div> 2090 </a> 2091 </div> 2092 2093 2094 2095 <div class="boton"> 2096 <a href="https://www.matesfacil.com/"> 2097 <div class="boton2"> 2098 Otros temas de matemáticas 2099 </div> 2100 </a> 2101 </div> 2102 2103 2104 2105 2106 2107 <div class="boton"> 2108 <a href="https://www.matesfacil.com/interactivos/index.html"> 2109 <div class="boton2"> 2110 Matemáticas interactivas 2111 </div> 2112 </a> 2113 </div> 2114 2115 2116 2117 2118 2119 2120 2121 2122 2123 2124 2125 2126 2127 2128</div><!--Einner--> 2129 2130</div><!--ELAT--> 2131 2132</body> 2133</html>
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