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13<title>Ecuaciones con fracciones (Nivel 4)</title>
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16<meta name="description" content="Ecuaciones de primer grado con fracciones resueltas y explicadas. Fracciones con denominador común y fracciones con denominador distinto (multiplicamos la ecuación por el mínimo común múltiplo). Resolvemos 25 ecuaciones y 10 problemas. Secundaria. Matemáticas. Álgebra." />
17<meta name="keywords" content="ejercicios, ecuación, ecuaciones, primer, grado, matemáticas, álgebra, incógnita, solución, ejemplos, secundaria, calcular, ejemplos, sumar, restar, lado, igualdad, ESO, resuelta, resueltas, soluciones, paréntesis, fracción, denominador, numerador, mínimo, común, múltiplo, multiplicamos, álgebra" />
18<meta name="author" content="José Llopis">
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112
113	<h1 align="center">Ecuaciones de primer grado</h1>
114	<h2 align="center">Nivel 4: Ecuaciones con fracciones</h2>
115	
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118	
119	
120	
121	
122	
123	<h2 class="fon">Introducción</h2>
124	<hr class="pab">
125	
126	<p>Dedicamos este nivel exclusivamente a las ecuaciones de primer grado con fracciones. Comenzaremos recordando el producto y el cociente de fracciones y después resolveremos <strong>25 ecuaciones</strong> y <strong>10 problemas</strong>. </p>
127	
128	<p>Los otros niveles de ecuaciones de primer grado son:</p>
129	
130	<ul>
131		<li>
132			<p><a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-1/ecuaciones-primer-grado-basicas-resueltas-explicadas.html" class="enlace"><strong>Nivel 1:</strong> Primeras ecuaciones</a></p>
133		</li>
134		<li>
135			<p><a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-2/numero-soluciones-ecuaciones-primer-grado-explicadas.html" class="enlace"><strong>Nivel 2:</strong> Número de soluciones</a></p>
136		</li>
137		
138		<li>
139			<p><a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-3/ecuaciones-parentesis-resueltas-ejemplos-explicadas-dentro-signo.html" class="enlace"><strong>Nivel 3:</strong> Ecuaciones con paréntesis</a></p>
140		</li>
141		
142		
143		<li>
144			<p><a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-5/ecuaciones-fracciones-parentesis-resueltas-ejemplos.html" class="enlace"><strong>Nivel 5:</strong> Ecuaciones con fracciones y con paréntesis</a></p>
145		</li>
146		<li>
147			<p><a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-6/50-problemas-resueltos-explicados-ecuaciones-primer-grado-calcular-numeros-edades-velocidad-fracciones-porcentajes.html" class="enlace"><strong>Nivel 6:</strong> Problemas</a></p>
148		</li>
149		
150	</ul>
151	
152	<p><strong>Nota:</strong> por su sencillez y comodidad, vamos a simplificar las ecuaciones eliminando todos los denominadores. </p>
153	
154	<p><strong>Nota 2:</strong> se requiere saber calcular el <a class="enlace" href="https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/minimo-comun-multiplo-definicion-ejemplos-ejercicios-test-problemas-descomposicion-primos.html"><strong>mínimo común múltiplo</strong></a> y <a class="enlace" href="https://www.matesfacil.com/ESO/fracciones/simplificar/simplificar-reducir-fracciones-metodo-maximo-comun-divisor-ejercicios-resueltos.html"><strong>simplificar fracciones</strong></a>. </p>
155	
156	
157	<br>
158	</div><!--ECONT01-->
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178	
179	<div class="container01">
180	<h2 class="fon">A. Preliminares</h2>	
181	<hr class="pab">
182	
183	<p>En este apartado recordamos el producto y el cociente de dos fracciones. No olvidéis que el numerador de la fracción \(\frac{a}{b}\) es \(a\) y el denominador es \(b\). </p>
184		
185	<div class="boton">
186		<div class="prefabajo">
187			<div class="fabajo"></div>
188		</div>
189		<div class="botontxt">
190			<h2>Producto o multiplicación</h2>
191			
192		</div>
193		
194	</div>
195	
196	
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198	
199	<div class="respuesta" id="respA1" style="display: block">
200	<div class="respuestatxt">
201		
202		
203		
204		
205		
206		<p>El producto de las fracciones \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \) es la fracción \( \frac{a\cdot c}{b \cdot d} \), es decir,</p> 
207
208		<p>$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$</p>
209		
210		<ul>
211			<li>
212				El numerador es el producto de los numeradores. 
213			</li>
214			
215			<li>
216				El denominador es el producto de los denominadores. 
217			</li>
218		</ul>
219		
220		
221	</div>	
222	</div><!--EndRespA1-->
223	
224		
225		
226		
227		
228	<div class="boton">
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230			<div class="fabajo"></div>
231		</div>
232		<div class="botontxt">
233			<h2>Cociente o división</h2>
234			
235		</div>
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237	</div>
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259		
260		
261			
262		
263		<p>El cociente (multiplicación) de las fracciones \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \) es la fracción \( \frac{a\cdot d}{b \cdot c} \), es decir,</p> 
264
265		<p>$$ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$</p>
266
267		<p>O bien,</p> 
268
269		<p>$$ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$</p>
270			
271		
272		<ul>
273			<li>
274				El numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. 
275			</li>
276			
277			<li>
278				El denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.   
279			</li>
280		</ul>
281		
282		
283	</div>	
284	</div><!--EndRespA2-->
285	
286	
287	
288		<p>A la hora de resolver las ecuaciones, tened en cuenta  que una fracción se puede escribir de varias formas, por ejemplo:</p>
289		
290		<p>$$ \frac{3x}{2} = \frac{3\cdot x}{2} =$$</p>
291		
292		<p>$$ = \frac{3}{2}\cdot x  = x\cdot \frac{3}{2}$$</p>
293	
294		
295	
296	
297	
298	
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300	
301	
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304	
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324	<div class="container01">
325	
326	
327	
328		<h2 class="fon">
328B. Fracciones con denominador común</h2>
329		<hr class="pab">
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346	
347		
348		<p>En este apartado resolvemos 10 ecuaciones que tienen fracciones con denominador común. Como el denominador es común, multiplicamos <strong>toda</strong> la ecuación por el denominador (multiplicamos todos los <strong>sumandos</strong>). De esta forma, desaparecen los denominadores. </p>
349	
350	
351		
352	<br>
353	
354	
355	
356	
357		
358	<div class="boton">
359		<div class="prefabajo">
360			<div class="fabajo"></div>
361		</div>
362		<div class="botontxth3frac">
363			 <h3>$$ \frac{3}{2} + 5x = \frac{5x}{2} $$ </h3>
364			
365		</div>
366		
367	</div>
368	
369	
370	
371	<div class="respuesta" id="respB1" style="display: block">
372	<div class="respuestatxt">
373		
374		
375
376
377		<p>Hay dos fracciones que tienen el mismo denominador (es 2) y hay un monomio que no tiene denominador (\(5x\)). </p>
378
379		<p>Multiplicamos la ecuación por el denominador común (2):</p>
380
381		<p>$$ 2\cdot \frac{3}{2} + 2\cdot 5x = 2\cdot \frac{5x}{2} $$ </p>
382
383		<p>En los monomios donde hay fracciones desaparecen los 2’s (porque están multiplicando y dividiendo): </p>
384
385		<p>$$ 3 + 2\cdot 5x = 5x $$ </p>
386
387		<p>Observad que se conservan los numeradores donde había fracciones y se multiplica por el denominador común donde no las había.</p> 
388
389		<p>Ahora ya sabemos resolver la ecuación:</p> 
390
391		<p>$$ 3 + 10x = 5x $$</p>
392
393		<p>$$ 3 + 10x -5x = 0 $$</p>
394
395		<p>$$ 3+5x = 0 $$</p>
396
397		<p>$$ 5x = -3 $$</p>
398
399		<p>El 5 pasa dividiendo al otro lado: </p>
400
401		<p>$$ x = - \frac{3}{5} $$</p>
402
403		<p>La fracción no se puede simplificar (el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1).</p> 
404
405		<p>La solución de la ecuación es \( x = -\frac{3}{5}\).</p>
406			
407
408		
409		
410		
411	</div>	
412	</div><!--EndRespB1-->
413	
414	
415	
416		
417	<div class="boton">
418		<div class="prefabajo">
419			<div class="fabajo"></div>
420		</div>
421		<div class="botontxth3frac">
422			 <h3>$$ \frac{2x}{5} - \frac{1}{5} = \frac{6x}{5} $$</h3>
423			
424		</div>
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447		
448		
449
450				
451
452		
453
454		<p>Multiplicamos todos los sumandos por el denominador común (5): </p>
455
456		<p>$$ 5\cdot  \frac{2x}{5} - 5\cdot  \frac{1}{5} = 5\cdot  \frac{6x}{5} $$</p>
457
458		<p>No olvidéis el signo negativo del segundo monomio.</p>
459
460		<p>Simplificamos: </p>
461
462		<p>$$ 2x – 1 = 6x $$</p>
463
464		<p>Resolvemos: </p>
465
466		<p>$$ -1 = 6x -2x $$</p>
467
468		<p>$$ -1 = 4x $$</p>
469
470		<p>El coeficiente 4 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:</p>
471
472		<p>$$ x = -\frac{1}{4} $$</p>
473
474		<p>La fracción no puede simplificarse más (ya es irreductible porque el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1).</p>  
475
476		<p>La solución de la ecuación es \( x = -\frac{1}{4}\).</p>
477			
478
479
480
481		
482		
483		
484	</div>	
485	</div><!--EndRespB2-->
486	
487	
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489		
490	<div class="boton">
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492			<div class="fabajo"></div>
493		</div>
494		<div class="botontxth3frac">
495			 <h3>$$ 6\cdot \frac{x}{7} + \frac{3}{7}\cdot x = \frac{3}{7} $$</h3>
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497		</div>
498		
499	</div>
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505		
506		
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510		
511
512		<p>Multiplicamos por el denominador común (7):</p>
513
514		<p>$$ 7\cdot 6\cdot \frac{x}{7} +7\cdot \frac{3}{7}\cdot x = 7\cdot \frac{3}{7} $$</p>
515
516		<p>Simplificamos: </p>
517
518		<p>$$ 6x + 3x = 3 $$</p>
519
520		<p>Resolvemos la ecuación: </p>
521
522		<p>$$ 9x = 3 $$</p>
523
524		<p>El coeficiente 9 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:</p>
525
526		<p>$$ x = \frac{3}{9} $$</p>
527
528		<p>Simplificamos la fracción:</p>
529
530		<p>$$ x = \frac{1}{3} $$</p>
531
532		<p>La solución de la ecuación es \( x = \frac{1}{3}\).</p>
533			
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540	</div>	
541	</div><!--EndRespB3-->
542	
543	
544	
545		
546	<div class="boton">
547		<div class="prefabajo">
548			<div class="fabajo"></div>
549		</div>
550		<div class="botontxth3frac">
551			 <h3>$$ x - \frac{2x}{3} = \frac{x}{3} $$</h3>
552			
553		</div>
554		
555	</div>
556	
557			
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572	
573	
574	<div class="respuesta" id="respB4" style="display: block">
575	<div class="respuestatxt">
576		
577		
578			
579
580			
581
582		
583
584		<p>Multiplicamos por el denominador común (3): </p>
585
586		<p>$$ 3\cdot x - 3\cdot \frac{2x}{3} =3\cdot \frac{x}{3}$$</p>
587
588		<p>Simplificamos: </p>
589
590		<p>$$ 3x – 2x = x $$</p>
591
592		<p>Resolvemos: </p>
593
594		<p>$$ x = x $$</p>
595
596		<p>$$ 0 = 0 $$</p>
597
598		<p>Como vimos en el <a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-2/numero-soluciones-ecuaciones-primer-grado-explicadas.html">Nivel 2</a>, obtener una igualdad verdadera significa que la ecuación tiene infinitas soluciones:</p> 
599
600		<p>$$ x \in \mathbb{R} $$</p>
601			
602
603
604
605
606		
607		
608		
609	</div>	
610	</div><!--EndRespB4-->
611	
612	
613	
614	
615		
616	<div class="boton">
617		<div class="prefabajo">
618			<div class="fabajo"></div>
619		</div>
620		<div class="botontxth3frac">
621			 <h3>$$ 6x = \frac{9x}{2} -\frac{7}{2} $$</h3>
622			
623		</div>
624		
625	</div>
626	
627	
628	
629	<div class="respuesta" id="respB5" style="display: block">
630	<div class="respuestatxt">
631		
632		
633
634				
635
636		
637
638		<p>Multiplicamos por el denominador común (2):</p> 
639
640		<p>$$ 2\cdot 6x = 2\cdot \frac{9x}{2} -2\cdot \frac{7}{2} $$</p>
641
642		<p>Simplificamos: </p>
643
644		<p>$$ 12x = 9x -7 $$</p>
645
646		<p>Resolvemos la ecuación: </p>
647
648		<p>$$ 12x -9x = -7 $$</p>
649
650		<p>$$ 3x = -7 $$</p>
651
652		<p>El coeficiente 3 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:</p>
653
654		<p>$$ x= -\frac{7}{3} $$</p>
655
656		<p>La fracción no puede simplificarse.</p>
657
658		<p>La solución de la ecuación es \( x = -\frac{7}{3}\).</p>
659			
660
661
662			
663
664			
665
666		
667		
668	</div>	
669	</div><!--EndRespB5-->
670	
671	<h3>¡Atención! En adelante tendremos que escribir paréntesis y luego trabajar con ellos (ya vimos cómo en el <a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-3/ecuaciones-parentesis-resueltas-ejemplos-explicadas-dentro-signo.html" class="enlace">Nivel 3</a>).</h3>
672	
673		
674	<div class="boton">
675		<div class="prefabajo">
676			<div class="fabajo"></div>
677		</div>
678		<div class="botontxth3frac">
679			 <h3>$$ \frac{5x+2}{3} -\frac{2x}{3}=\frac{3-x}{3} $$</h3>
680			
681		</div>
682		
683	</div>
684	
685	
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700	
701	<div class="respuesta" id="respB6" style="display: block">
702	<div class="respuestatxt">
703		
704		
705
706		
707
708		<p>Observad que los numeradores de dos fracciones no son sólo números. </p>
709
710
711		
712		<p>Multiplicamos por el denominador común (3):</p>
713
714		<p>$$ 3\cdot  \frac{5x+2}{3} -3\cdot  \frac{2x}{3}=3\cdot  \frac{3-x}{9}$$</p>
715
716		<p>Simplificamos:</p>
717
718		<p>$$ (5x +2)  -2x = (3-x)$$</p>
719
720		<p>Hemos escrito paréntesis para que se vea claro que son los numeradores que teníamos en las fracciones.</p>
721
722		<p>Resolvemos la ecuación: </p>
723
724		<p>$$ 5x +2 -2x = 3 -x$$</p>
725
726		<p>$$ 3x +2  = 3 -x$$</p>
727
728		<p>$$ 3x +x  = 3 -2 $$</p>
729
730		<p>$$ 4x = 1 $$</p>
731
732		<p>El coeficiente 4 pasa al otro lado dividiendo:</p>
733
734		<p>$$ x = \frac{1}{4} $$</p>
735
736		<p>La fracción no puede simplificarse más.</p> 
737
738		<p>La solución de la ecuación es \( x = \frac{1}{4}  \).</p>
739			
740
741		
742		
743		
744	</div>	
745	</div><!--EndRespB6-->
746	
747		
748	
749		
750	<div class="boton">
751		<div class="prefabajo">
752			<div class="fabajo"></div>
753		</div>
754		<div class="botontxth3frac">
755			 <h3>$$ \frac{3x+5}{5}- \frac{2x+6}{5} = x $$</h3>
756			
757		</div>
758		
759	</div>
760	
761	
762	
763	<div class="respuesta" id="respB7" style="display: block">
764	<div class="respuestatxt">
765		
766		
767
768		
769
770		<p>Multiplicamos por el denominador común (5):</p> 
771
772		<p>$$ 5\cdot \frac{3x+5}{5}- 5\cdot \frac{2x+6}{5} = 5\cdot x$$</p>
773
774		<p>Simplificamos: </p>
775
776		<p>$$ (3x+5) –(2x+6) = 5x $$</p>
777
778		<p>Observad que en esta ecuación los paréntesis son importantes porque hay uno que tiene un signo negativo delante. No es lo mismo \(-(2x+6)\) que \(-2x+6\). </p>
779
780		<p>Resolvemos la ecuación:</p>
781
782		<p>$$ 3x + 5 -2x -6 = 5x $$</p>
783
784		<p>$$ x -1 = 5x $$</p>
785
786		<p>$$ -1 = 4x $$</p>
787
788		<p>El 4 pasa dividiendo al otro lado: </p>
789
790		<p>$$ x = -\frac{1}{4} $$</p>
791
792		<p>La fracción no puede simplificarse.</p>
793
794		<p>La solución de la ecuación es \( x = -\frac{1}{4} \).</p>
795			
796
797		
798		
799		
800	</div>	
801	</div><!--EndRespB7-->
802	
803		
804	
805	
806		
807	<div class="boton">
808		<div class="prefabajo">
809			<div class="fabajo"></div>
810		</div>
811		<div class="botontxth3frac">
812			 <h3>$$ x - \frac{2x}{5}= \frac{3x}{5} + 1 $$</h3>
813			
814		</div>
815		
816	</div>
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833	<div class="respuesta" id="respB8" style="display: block">
834	<div class="respuestatxt">
835		
836		
837
838		
839
840		<p>Multiplicamos por el denominador común (5):</p>
841
842		
843
844		<p>$$ 5\cdot x - 5\cdot \frac{2x}{5}= 5\cdot \frac{3x}{5} + 5\cdot 1$$</p>
845
846		<p>Simplificamos:</p> 
847
848		<p>$$ 5x – 2x = 3x + 5$$</p> 
849
850		<p>$$ 3x = 3x +5 $$</p>
851
852		<p>$$ 3x- 3x = 5 $$</p>
853
854		<p>$$ 0 = 5 $$</p>
855
856		<p>Como vimos en el <a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-2/numero-soluciones-ecuaciones-primer-grado-explicadas.html">Nivel 2</a>, obtener una igualdad falsa significa que la ecuación no tiene solución.</p>
857			
858
859		
860		
861		
862	</div>	
863	</div><!--EndRespB8-->
864	
865		
866	
867		
868	<div class="boton">
869		<div class="prefabajo">
870			<div class="fabajo"></div>
871		</div>
872		<div class="botontxth3frac">
873			 <h3>$$ \frac{1-x}{3} = 1-\frac{2x-5}{3} $$</h3>
874			
875		</div>
876		
877	</div>
878	
879	
880	
881	<div class="respuesta" id="respB9" style="display: block">
882	<div class="respuestatxt">
883		
884		
885
886		
887
888		<p>Multiplicamos por el denominador común (3):</p> 
889
890		<p>$$ 3\cdot  \frac{1-x}{3} = 3\cdot 1-3\cdot \frac{2x-5}{3}$$</p>
891
892		<p>Simplificamos:</p> 
893
894		<p>$$ (1-x) = 3 – (2x -5) $$</p>
895
896		<p>Resolvemos:</p>
897
898		<p>$$ 1 -x = 3 -2x +5 $$</p>
899
900		<p>$$ 1 -x = 8 -2x $$</p>
901
902		<p>$$ 2x -x = 8-1$$</p>
903
904		<p>$$ x = 7 $$ </p>
905
906		<p>La solución de la ecuación es \( x = 7\).</p>
907			
908
909		
910		
911		
912	</div>	
913	</div><!--EndRespB9-->
914	
915	
916		
917	<div class="boton">
918		<div class="prefabajo">
919			<div class="fabajo"></div>
920		</div>
921		<div class="botontxth3frac">
922			 <h3>$$  x -\frac{2-x}{6} = \frac{x+2}{6} $$</h3>
923			
924		</div>
925		
926	</div>
927	
928	
929	
930	<div class="respuesta" id="respB10" style="display: block">
931	<div class="respuestatxt">
932		
933		
934
935		
936
937		<p>Multiplicamos por el denominador común (6):</p>
938
939		<p>$$  6\cdot x -6\cdot \frac{2-x}{6} = 6\cdot \frac{x+2}{6}$$</p>
940
941		<p>Simplificamos: </p>
942
943		<p>$$ 6x -(2-x) = (x+2) $$</p>
944
945		<p>Resolvemos: </p>
946
947		<p>$$ 6x -2+x = x+2 $$</p>
948
949		<p>$$ 7x = x+2+2 $$</p>
950
951		<p>$$ 7x-x = 4 $$</p>
952
953		<p>$$ 6x = 4 $$</p>
954
955		<p>El coeficiente 6 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:</p>
956
957		<p>$$ x=\frac{4}{6} $$</p>
958
959		<p>Simplificamos la fracción: </p>
960
961		<p>$$ x = \frac{2}{3} $$</p>
962
963		<p>La solución de la ecuación es \( x = \frac{2}{3}
963 \).</p>
964			
965
966		
967		
968		
969	</div>	
970	</div><!--EndRespB10-->
971	
972		
973		
974		
975		
976	
977	
978	</div><!--ECONT01-->
979	
980	
981	
982	
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991	
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993	
994	
995	
996	
997	
998	
999	<div class="container01">
1000	
1001	 <h2 class="fon">C. Fracciones con distinto denominador</h2>
1002	<hr class="pab">
1003		
1004	
1005		
1006	<br>
1007	
1008	
1009	
1010		
1011		
1012		<p>En este apartado resolvemos 15 ecuaciones con fracciones con denominadores distintos. Para eliminar las fracciones multiplicamos la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de éstos.</p>
1013		
1014		 <!--gogadstope7-->
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1026
1027	<!--Endgogadstope7-->	
1028
1029	
1030		
1031		
1032		<p>¿Por qué el mcm de los denominadores? Porque el mcm es un múltiplo de los denominadores y, por tanto, al dividir el mcm entre los denominadores se obtienen números enteros (no decimales). </p>
1033		
1034		<p>Si os preguntáis si se puede multiplicar por otro número para que los denominadores desaparezcan, la respuesta es sí. Nosotros escogemos el mcm por tres razones:</p>
1035		
1036		<ul>
1037			<li>
1038				<p>es el menor número que hace que desaparezcan los denominadores,</p>
1039			</li>
1040			
1041			<li>
1042				<p>es más <i>elegante</i> y</p>
1043			</li>
1044			
1045			<li>
1046				<p>por convenio (así todos lo hacemos igual). </p>
1047			</li>
1048			
1049		</ul>
1050		
1051		<p><strong>Nota:</strong> recordad que para calcular el mcm de dos números tenemos que descomponer los números como productos de potencia de primos para escoger los <strong>factores comunes y no comunes al mayor exponente</strong>. </p>
1052	
1053	
1054	<div class="boton">
1055		<div class="prefabajo">
1056			<div class="fabajo"></div>
1057		</div>
1058		<div class="botontxth3frac">
1059			 <h3>$$ \frac{3x}{5} = 1 + \frac{2x}{3} $$</h3>
1060			
1061		</div>
1062		
1063	</div>
1064	
1065	
1066	
1067	<div class="respuesta" id="respC1" style="display: block">
1068	<div class="respuestatxt">
1069		
1070		
1071	   
1072
1073	  <p>El mcm de los denominadores es 15. Multiplicamos por 15 la ecuación:</p> 
1074
1075	  <p>$$ 15\cdot \frac{3x}{5} = 15\cdot 1 + 15\cdot \frac{2x}{3} $$</p>
1076
1077	  <p>Simplificamos: donde hay fracciones, eliminamos el denominador y en lugar de escribir 15 multiplicando, debemos escribir el resultado de la división 15 entre el denominador:</p>
1078
1079	  <p>$$ 3\cdot 3x = 15 + 5\cdot 2x $$</p>
1080
1081	  <p>Observad que hemos escrito 3 multiplicando a la fracción de la izquierda ya que </p>
1082
1083	  <p>$$ 15\cdot \frac{3x}{5} =  \frac{15\cdot 3x}{5} = $$</p>
1084
1085	  <p>$$ = \frac{3\cdot 5\cdot 3x}{5} = 3\cdot 3x$$</p>
1086
1087	  <p>Y 5 en la de la derecha porque</p>
1088
1089	  <p>$$ 15\cdot \frac{2x}{3} =  \frac{15\cdot 2x}{3} = $$</p>
1090
1091	  <p>$$ = \frac{3\cdot 5\cdot 2x}{3} = 5\cdot 2x$$</p>
1092
1093	  <p>Continuamos resolviendo la ecuación:</p> 
1094
1095	  <p>$$ 9x = 15+10x $$</p>
1096
1097	  <p>$$ 9x-10x = 15 $$</p>
1098
1099	  <p>$$ -x = 15 $$</p>
1100
1101	  <p>$$ x = -15 $$</p>
1102
1103	  <p>La solución de la ecuación es \( x = -15 \).</p>
1104
1105		
1106		
1107				
1108	</div>	
1109	</div><!--EndRespC1-->
1110	
1111	<div class="boton">
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1114		</div>
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1116			 <h3>$$ x -\frac{4}{3} = \frac{3x}{2} $$</h3>
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1141	<div class="respuestatxt">
1142		
1143		
1144			
1145	  
1146
1147	  <p>Multiplicamos por el mcm de 3 y 2 (es 6):</p> 
1148
1149	  <p>$$ 6\cdot x -6\cdot \frac{4}{3} = 6\cdot \frac{3x}{2}$$</p>
1150
1151	  <p>Simplificamos: </p>
1152
1153	  <p>$$ 6x -2\cdot 4 = 3\cdot 3x $$</p>
1154
1155	  <p>Resolvemos: </p>
1156
1157	  <p>$$ 6x -8 = 9x $$</p>
1158
1159	  <p>$$ -8 = 9x-6x $$</p>
1160
1161	  <p>$$ -8 = 3x $$</p>
1162
1163	  <p>El coeficiente 3 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado: </p>
1164
1165	  <p>$$ x = -\frac{8}{3} $$</p>
1166
1167	  <p>La fracción no se puede simplificar. </p>
1168
1169	  <p>La solución de la ecuación es \( x = -\frac{8}{3} \).</p>
1170
1171		
1172				
1173		
1174		
1175	</div>	
1176	</div><!--EndRespC2-->
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1179	
1180		
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1183	<div class="boton">
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1185			<div class="fabajo"></div>
1186		</div>
1187		<div class="botontxth3frac">
1188			 <h3>$$ \frac{1}{2} -\frac{2x}{5} = \frac{x}{3} $$</h3>
1189			
1190		</div>
1191		
1192	</div>
1193	
1194	
1195	
1196	<div class="respuesta" id="respC3" style="display: block">
1197	<div class="respuestatxt">
1198		
1199		
1200		
1201	   
1202
1203	  <p>Como tenemos 3 denominadores (2, 5 y 3), tenemos que calcular el mcm de los tres denominadores. Al ser números primos, su mcm es su producto: 30. </p>
1204
1205	  <p>Multiplicamos la ecuación por 30:</p> 
1206
1207	  <p>$$ 30\cdot \frac{1}{2} -30\cdot \frac{2x}{5} = 30\cdot \frac{x}{3}$$</p>
1208
1209	  <p>Simplificamos las fracciones: </p>
1210
1211	  <p>$$ 15\cdot 1 -6\cdot 2x = 10\cdot x $$</p>
1212
1213	  <p>Resolvemos: </p>
1214
1215	  <p>$$ 15 -12x = 10x $$</p>
1216
1217	  <p>$$ 15 = 10x +12x $$</p>
1218
1219	  <p>$$ 15 = 22x $$ </p>
1220
1221	  <p>El coeficiente 22 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:</p> 
1222
1223	  <p>$$ x = \frac{15}{22} $$</p>
1224
1225	  <p>La fracción no se puede simplificar.</p>
1226
1227	  <p>La solución de la ecuación es \( x = \frac{15}{22} \).</p>
1228
1229
1230		
1231		
1232				
1233			
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1236	</div>	
1237	</div><!--EndRespC3-->
1238	
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1240	
1241		
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1244	<div class="boton">
1245		<div class="prefabajo">
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1248		<div class="botontxth3frac">
1249			 <h3>$$ \frac{x}{2}-\frac{2}{3} = \frac{x}{9} $$</h3>
1250			
1251		</div>
1252		
1253	</div>
1254	
1255	
1256	
1257	<div class="respuesta" id="respC4" style="display: block">
1258	<div class="respuestatxt">
1259		
1260		
1261
1262		
1263	   
1264
1265	  <p>Tenemos tres denominadores: 2, 3 y 9 y su mcm es 18.</p> 
1266
1267	  <p>Multiplicamos por 18: </p> 
1268
1269	  <p>$$ 18\cdot \frac{x}{2}-18\cdot \frac{2}{3} = 18\cdot \frac{x}{9}$$</p> 
1270
1271	  <p>Simplificamos: </p> 
1272
1273	  <p>$$ 9\cdot x -6\cdot 2 = 2\cdot x $$</p> 
1274
1275	  <p>Resolvemos: </p> 
1276
1277	  <p>$$ 9x -12 = 2x $$</p> 
1278
1279	  <p>$$ 9x -2x = 12 $$</p> 
1280
1281	  <p>$$ 7x = 12 $$</p> 
1282
1283	  <p>El 7 pasa dividiendo al otro lado: </p> 
1284
1285	  <p>$$ x = \frac{12}{7} $$</p> 
1286
1287	  <p>La fracción no puede simplificarse. </p> 
1288
1289	  <p>La solución de la ecuación es \( x = \frac{12}{7}  \). </p>
1290
1291		
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1294			
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1303	
1304	
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1306	<div class="boton">
1307		<div class="prefabajo">
1308			<div class="fabajo"></div>
1309		</div>
1310		<div class="botontxth3frac">
1311			 <h3>$$ \frac{2x}{6}+\frac{3x}{4} = \frac{2x}{3} $$</h3>
1312			
1313		</div>
1314		
1315	</div>
1316	
1317	
1318	
1319	<div class="respuesta" id="respC5" style="display: block">
1320	<div class="respuestatxt">
1321		
1322		
1323		
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1325	   
1326
1327	  <p>Los denominadores son 6, 4 y 3 y su mcm es 12. </p>
1328
1329	  <p>Multiplicamos la ecuación por 12: </p>
1330
1331	  <p>$$ 12\cdot \frac{2x}{6}+12\cdot \frac{3x}{4} = 12\cdot \frac{2x}{3}$$</p>
1332
1333	  <p>Simplificamos:</p>
1334
1335	  <p>$$ 2\cdot 2x + 3\cdot 3x = 4\cdot 2x $$</p>
1336
1337	  <p>Resolvemos:</p>
1338
1339	  <p>$$ 4x + 9x = 8x $$</p>
1340
1341	  <p>$$ 13x = 8x $$</p>
1342
1343	  <p>$$ 13x -8x = 0 $$</p>
1344
1345	  <p>$$  5x = 0 $$</p>
1346
1347	  <p>El 5 pasa dividiendo al otro lado:</p> 
1348
1349	  <p>$$ x = \frac{0}{5} $$</p>
1350
1351	  <p>$$ x = 0 $$</p>
1352
1353	  <p>La solución de la ecuación es \( x = 0 \).</p>
1354
1355		
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1371	</div><!--EndRespC5-->
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1375	<div class="boton">
1376		<div class="prefabajo">
1377			<div class="fabajo"></div>
1378		</div>
1379		<div class="botontxth3frac">
1380			 <h3>$$ \frac{5x}{6}+\frac{3}{10} = \frac{5x}{15} $$</h3>
1381			
1382		</div>
1383		
1384	</div>
1385	
1386	
1387	
1388	<div class="respuesta" id="respC6" style="display: block">
1389	<div class="respuestatxt">
1390		
1391		
1392		
1393		
1394	   
1395
1396	  <p>Multiplicamos por el mcm de los denominadores (6, 10 y 15), que es 30:</p>
1397
1398	  <p>$$ 30\cdot \frac{5x}{6}+30\cdot \frac{3}{10} = 30\cdot \frac{5x}{15}$$</p>
1399
1400	  <p>Simplificamos: </p>
1401
1402	  <p>$$ 5\cdot 5x + 3\cdot 3 = 2\cdot 5x $$</p>
1403
1404	  <p>Resolvemos la ecuación:</p>
1405
1406	  <p>$$ 25x + 9 = 10x $$</p>
1407
1408	  <p>
1408$$ 25x -10x = -9 $$</p>
1409
1410	  <p>$$ 15x = -9 $$</p>
1411
1412	  <p>El 15 pasa dividiendo al otro lado: </p>
1413
1414	  <p>$$ x = -\frac{9}{15} $$</p>
1415
1416	  <p>Simplificamos la fracción:</p> 
1417
1418	  <p>$$ x = - \frac{3}{5} $$</p>
1419
1420	  <p>La solución de la ecuación es \( x = -\frac{3}{5} \).</p>
1421
1422		
1423			 
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1428	</div>	
1429	</div><!--EndRespC6-->
1430	
1431	
1432	
1433	<div class="boton">
1434		<div class="prefabajo">
1435			<div class="fabajo"></div>
1436		</div>
1437		<div class="botontxth3frac">
1438			 <h3>$$ \frac{x}{2}-\frac{3x}{20} = \frac{5}{4} $$</h3>
1439			
1440		</div>
1441		
1442	</div>
1443	
1444	
1445	
1446	<div class="respuesta" id="respC7" style="display: block">
1447	<div class="respuestatxt">
1448		
1449		
1450		
1451		
1452		
1453	   
1454
1455	  <p>Los denominadores son 2, 20 y 4 y su mcm es 20. </p>
1456
1457	  <p>Multiplicamos por 20 la ecuación: </p>
1458
1459	  <p>$$ 20\cdot \frac{x}{2}-20\cdot \frac{3x}{20} = 20\cdot \frac{5}{4}$$</p>
1460
1461	  <p>Simplificamos:</p>
1462
1463	  <p>$$ 10\cdot x -1\cdot 3x = 5\cdot 5 $$</p>
1464
1465	  <p>Resolvemos: </p>
1466
1467	  <p>$$ 10x -3x = 25 $$</p>
1468
1469	  <p>$$ 7x = 25 $$</p>
1470
1471	  <p>El coeficiente 7 pasa dividiendo al otro lado: </p>
1472
1473	  <p>$$ x= \frac{25}{7} $$</p>
1474
1475	  <p>La fracción no puede simplificarse.</p>
1476
1477	  <p>La solución de la ecuación es \( x = \frac{25}{7} \). </p>
1478
1479
1480		
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1482			 
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1488	</div><!--EndRespC7-->
1489		
1490		
1491			
1492	
1493	
1494	
1495	<div class="boton">
1496		<div class="prefabajo">
1497			<div class="fabajo"></div>
1498		</div>
1499		<div class="botontxth3frac">
1500			 <h3>$$ \frac{x}{11}-\frac{x}{2} = \frac{3x}{4} -\frac{5}{22} $$</h3>
1501			
1502		</div>
1503		
1504	</div>
1505	
1506	
1507	
1508	<div class="respuesta" id="respC8" style="display: block">
1509	<div class="respuestatxt">
1510		
1511		
1512		
1513		
1514	   
1515
1516	  <p>Tenemos cuatro denominadores: 11, 2, 4 y 22. Su mcm es 44. </p>
1517
1518	  <p>Multiplicamos por 44: </p>
1519
1520	  <p>$$ 44\cdot \frac{x}{11}-44\cdot \frac{x}{2} = 44\cdot \frac{3x}{4} -44\cdot \frac{5}{22}$$</p>
1521
1522	  <p>Simplificamos: </p>
1523
1524	  <p>$$ 4\cdot x  -22\cdot x = 11\cdot 3x -2\cdot 5 $$</p>
1525
1526	  <p>Resolvemos:</p> 
1527
1528	  <p>$$ 4x -22x = 33x -10 $$</p>
1529
1530	  <p>$$ -18x = 33x -10$$</p>
1531
1532	  <p>$$ 10 = 33x + 18x $$</p>
1533
1534	  <p>$$ 10 = 51x $$</p>
1535
1536	  <p>El coeficiente 51 de la incógnita pasa al otro lado dividiendo:</p> 
1537
1538	  <p>$$ x = \frac{10}{51} $$</p>
1539
1540	  <p>La fracción no puede simplificarse.</p>
1541
1542	  <p>La solución de la ecuación es \( x = \frac{10}{51} \).</p>
1543
1544		
1545			 
1546
1547			
1548		
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1550	</div>	
1551	</div><!--EndRespC8-->
1552		
1553		
1554			
1555	
1556	
1557	
1558	<div class="boton">
1559		<div class="prefabajo">
1560			<div class="fabajo"></div>
1561		</div>
1562		<div class="botontxth3frac">
1563			 <h3>$$ x+\frac{3x+2}{2} = \frac{1+x}{4} $$</h3>
1564			
1565		</div>
1566		
1567	</div>
1568	
1569	
1570	
1571	<div class="respuesta" id="respC9" style="display: block">
1572	<div class="respuestatxt">
1573		
1574		
1575		
1576		
1577	   
1578
1579	  <p>El mcm de los denominadores (2 y 4) es 4.</p> 
1580
1581	  <p>Multiplicamos por 4: </p>
1582
1583	  <p>$$ 4\cdot x+4\cdot \frac{3x+2}{2} = 4\cdot \frac{1+x}{4} $$</p>
1584
1585	  <p>Simplificamos (no olvidéis los paréntesis):</p>
1586
1587	  <p>$$ 4\cdot x + 2\cdot (3x+2) = 1\cdot (1+x) $$</p>
1588
1589	  <p>Resolvemos la ecuación: </p>
1590
1591	  <p>$$ 4x + 6x + 4 = 1 +x $$</p>
1592
1593	  <p>$$ 10x + 4 = 1+x $$</p>
1594
1595	  <p>$$ 9x = -3 $$</p>
1596
1597	  <p>El 9 pasa dividiendo al otro lado: </p>
1598
1599	  <p>$$ x = -\frac{3}{9} $$</p>
1600
1601	  <p>Simplificamos las fracción:</p>
1602
1603	  <p>$$ x= -\frac{1}{3} $$</p>
1604
1605	  <p>La solución de la ecuación es \( x = -\frac{1}{3} \).</p>
1606
1607		
1608			
1609		
1610		
1611	</div>	
1612	</div><!--EndRespC9-->
1613		
1614		
1615	
1616	
1617	
1618	<div class="boton">
1619		<div class="prefabajo">
1620			<div class="fabajo"></div>
1621		</div>
1622		<div class="botontxth3frac">
1623			 <h3>$$ \frac{4x-5}{5} = \frac{5x-3}{4} $$</h3>
1624			
1625		</div>
1626		
1627	</div>
1628	
1629	
1630	
1631	<div class="respuesta" id="respC10" style="display: block">
1632	<div class="respuestatxt">
1633		
1634		
1635		
1636		
1637		
1638	   
1639
1640	  <p>Esta ecuación la vamos a resolver de otro modo ya que tenemos una igualdad entre dos fracciones. Lo que haremos es pasar los denominadores multiplicando al otro lado: </p>
1641
1642	  <p>El 5 que divide en la izquierda lo pasamos multiplicando a la derecha: </p>
1643
1644	  <p>$$ 4x -5 = 5\cdot \frac{5x -3}{4} $$</p>
1645
1646	  <p>Observad que ha desparecido un denominador. </p>
1647
1648	  <p>El 4 que divide en la derecha lo pasamos multiplicando a la izquierda (no olvidéis los paréntesis): </p>
1649
1650	  <p>$$ 4\cdot (4x-5) = 5\cdot (5x-3) $$</p>
1651
1652	  <p>Resolvemos la ecuación: </p>
1653
1654	  <p>$$ 4\cdot 4x -4\cdot 5 = 5\cdot 5x -5\cdot 3 $$</p>
1655
1656	  <p>$$ 16x -20 = 25x - 15$$</p>
1657
1658	  <p>$$ -20 +15 = 25x -16x$$</p>
1659
1660	  <p>$$ -5 = 9x $$</p>
1661
1662	  <p>El 9 pasa dividiendo al otro lado: </p>
1663
1664	  <p>$$ x = -\frac{5}{9} $$</p>
1665 
1666
1667	  <p>La fracción no puede simplificarse.</p>
1668
1669	  <p>La solución de la ecuación es \( x = -\frac{5}{9} \). </p>
1670
1671		
1672
1673			
1674		
1675		
1676	</div>	
1677	</div><!--EndRespC10-->
1678	
1679	<div class="boton">
1680		<div class="prefabajo">
1681			<div class="fabajo"></div>
1682		</div>
1683		<div class="botontxth3frac">
1684			 <h3>$$ \frac{x-3}{3} = x - \frac{x+3}{4} $$</h3>
1685			
1686		</div>
1687		
1688	</div>
1689	
1690	
1691	
1692	<div class="respuesta" id="respC11" style="display: block">
1693	<div class="respuestatxt">
1694		
1695		
1696	  
1697
1698	  <p>El mcm de los denominadores es 12. </p> 
1699
1700	  <p>Multiplicamos por 12:</p>  
1701
1702	  <p>$$ 12\cdot \frac{x-3}{3} = 12\cdot x - 12\cdot \frac{x+3}{4} $$</p> 
1703
1704	  <p>Simplificamos: </p> 
1705
1706	  <p>$$ 4\cdot (x-3) = 12x – 3\cdot (x+3) $$</p> 
1707
1708	  <p>Resolvemos: </p> 
1709
1710	  <p>$$ 4x -12 = 12x -3x -9 $$</p> 
1711
1712	  <p>$$ 4x -12 = 9x -9$$</p> 
1713
1714	  <p>$$ -12 +9 = 9x -4x$$</p> 
1715
1716	  <p>$$ -3 = 5x $$</p> 
1717
1718	  <p>El 5 pasa dividiendo al otro lado:</p> 
1719
1720	  <p>$$ x = -\frac{3}{5} $$</p> 
1721
1722	  <p>La fracción no puede simplificarse.</p> 
1723
1724	  <p>La solución de la ecuación es \( x = -\frac{3}{5} \).</p>
1725
1726		
1727		
1728				
1729	</div>	
1730	</div><!--EndRespC11-->
1731	
1732	
1733	<div class="boton">
1734		<div class="prefabajo">
1735			<div class="fabajo"></div>
1736		</div>
1737		<div class="botontxth3frac">
1738			 <h3>$$ \frac{x-2}{9} = \frac{5x-9}{18} - \frac{3-2x}{6} $$</h3>
1739			
1740		</div>
1741		
1742	</div>
1743	
1744	
1745	
1746	<div class="respuesta" id="respC12" style="display: block">
1747	<div class="respuestatxt">
1748		
1749		
1750	   
1751
1752	  <p>El mcm de los denominadores (9, 18 y 6) es 18.</p>
1753
1754	  <p>Multiplicamos por 18:</p> 
1755
1756	  <p>$$ 18\cdot \frac{x-2}{9} = 18\cdot \frac{5x-9}{18} -18\cdot \frac{3-2x}{6} $$</p>
1757
1758	  <p>Simplificamos:</p> 
1759
1760	  <p>$$ 2\cdot (x-2) = 1\cdot (5x-9) -3\cdot (3-2x) $$</p>
1761
1762	  <p>Resolvemos: </p>
1763
1764	  <p>$$ 2x -4 = 5x -9 -9 +6x$$</p>
1765
1766	  <p>$$ 2x -4 = 11x -18 $$</p>
1767
1768	  <p>$$ 18-4 = 11x -2x$$</p>
1769
1770	  <p>$$ 14 = 9x $$</p>
1771
1772	  <p>El 9 pasa dividiendo al otro lado: </p>
1773
1774	  <p>$$ x = \frac{14}{9} $$</p>
1775
1776	  <p>La fracción se no puede simplificar.</p>
1777
1778	  <p>La solución de la ecuación es \( x = \frac{14}{9}\).</p>
1779
1780		
1781		
1782				
1783	</div>	
1784	</div><!--EndRespC12-->
1785	
1786	
1787	<div class="boton">
1788		<div class="prefabajo">
1789			<div class="fabajo"></div>
1790		</div>
1791		<div class="botontxth3frac">
1792			 <h3>$$ \frac{6x-8}{33} = \frac{x-2}{3} - \frac{1-5x}{6} $$</h3>
1793			
1794		</div>
1795		
1796	</div>
1797	
1798	
1799	
1800	<div class="respuesta" id="respC13" style="display: block">
1801	<div class="respuestatxt">
1802		
1803		
1804	   
1805
1806	  <p>El mcm de los denominadores (33, 3 y 6) es 66. </p>
1807
1808	  <p>Multiplicamos por 66:</p>
1809
1810	  <p>$$ 66\cdot \frac{6x-8}{33} = 66\cdot \frac{x-2}{3} - 66\cdot \frac{1-5x}{6} $$</p>
1811
1812	  <p>Simplificamos:</p>
1813
1814	  <p>$$ 2\cdot (6x -8) = 22\cdot (x-2) -11\cdot (1-5x)$$</p>
1815
1816	  <p>Resolvemos:</p>
1817
1818	  <p>$$ 12x -16 = 22x -44 -11 +55x$$</p>
1819
1820	  <p>$$ 12x -16= 77x -55$$</p>
1821
1822	  <p>$$ 55 - 16 = 77x -12x$$</p>
1823
1824	  <p>$$ 39 = 65x $$</p>
1825
1826	  <p>El 65 pasa dividiendo al otro lado:</p>
1827
1828	  <p>$$ x = \frac{39}{65} $$</p>
1829
1830	  <p>Simplificamos la fracción:</p> 
1831
1832	  <p>$$ x = \frac{3}{5} $$</p>
1833
1834	  <p>La solución de la ecuación es \( x =  \frac{3}{5}\).</p>
1835
1836		
1837		
1838				
1839	</div>	
1840	</div><!--EndRespC13-->
1841	
1842	
1843	<div class="boton">
1844		<div class="prefabajo">
1845			<div class="fabajo"></div>
1846		</div>
1847		<div class="botontxth3frac">
1848			 <h3>$$ \frac{x-3}{2} -\frac{3x-2}{5} = \frac{1-5x}{4} $$</h3>
1849			
1850		</div>
1851		
1852	</div>
1853	
1854	
1855	
1856	<div class="respuesta" id="respC14" style="display: block">
1857	<div class="respuestatxt">
1858		
1859		
1860	 
1861
1862	  <p>Multiplicamos la ecuación por el mcm de los denominadores (20):</p>
1863 
1864	  <p>$$ 20\cdot \frac{x-3}{2} -20\cdot \frac{3x-2}{5} = 20\cdot \frac{1-5x}{4} $$</p>
1865
1866	  <p>Simplificamos: </p>
1867
1868	  <p>$$ 10\cdot (x-3) -4\cdot (3x-2) = 5\cdot (1-5x) $$</p>
1869
1870	  <p>Resolvemos: </p>
1871
1872	  <p>$$ 10x -30 -12x + 8 = 5 -25x $$</p>
1873
1874	  <p>$$ -2x -22 = 5 -25x$$</p>
1875
1876	  <p>$$ 25x -2x = 5 + 22 $$</p>
1877
1878	  <p>$$ 23x = 27$$</p>
1879
1880	  <p>El 23 pasa dividiendo:</p>
1881
1882	  <p>$$ x= \frac{27}{23} $$</p>
1883
1884	  <p>La fracción no se puede simplificar.</p>
1885
1886	  <p>La solución de la ecuación es \( x = \frac{27}{23}\). </p>
1887
1888		
1889		
1890				
1891	</div>	
1892	</div><!--EndRespC14-->
1893	
1894	
1895	<div class="boton">
1896		<div class="prefabajo">
1897			<div class="fabajo"></div>
1898		</div>
1899		<div class="botontxth3frac">
1900			 <h3>$$ \frac{1-3x}{12} = \frac{2x -3}{5} - \frac{7-5x}{9} $$</h3>
1901			
1902		</div>
1903		
1904	</div>
1905	
1906	
1907	
1908	<div class="respuesta" id="respC15" style="display: block">
1909	<div class="respuestatxt">
1910		
1911		
1912	   
1913
1914	  <p>Multiplicamos por el mcm de los denominadores (180):</p> 
1915
1916	  <p>$$ 180\cdot \frac{1-3x}{12} = 180\cdot \frac{2x -3}{5} - 180\cdot \frac{7-5x}{9} $$</p>
1917
1918	  <p>Simplificamos:</p>
1919
1920	  <p>$$ 15\cdot (1-3x) = 36\cdot (2x-3) -20\cdot (7 -5x) $$</p>
1921
1922	  <p>$$ 15 -45x = 72x -108 -140 + 100x$$</p>
1923
1924	  <p>Resolvemos: </p>
1925
1926	  <p>$$ 15 -45x = 172x -248$$</p>
1927
1928	  <p>$$ 15 + 248 = 172x +45x $$</p>
1929
1930	  <p>$$ 263 = 217x$$</p>
1931
1932	  <p>El coeficiente 217 pasa al otro lado dividiendo: </p>
1933
1934	  <p>$$ x = \frac{263}{217} $$</p>
1935
1936	  <p>La fracción no puede simplificarse.</p>
1937
1938	  <p>La solución de la ecuación es \( x = \frac{263}{217} \).</p>
1939
1940		
1941		
1942				
1943	</div>	
1944	</div><!--EndRespC15-->
1945	
1946		
1947		
1948				
1949		
1950		
1951		
1952	
1953	</div><!--ECONT01-->
1954	
1955	
1956	
1957	
1958	
1959	
1960	
1961	
1962	
1963	
1964	<div class="container01">
1965	
1966	 <h2 class="fon">D. Problemas</h2>
1967	<hr class="pab">
1968		
1969		<p>En este apartado resolvemos 10 problemas en los que tendremos que plantear (y resolver) ecuaciones de primer grado con fracciones. </p>
1970		
1971	
1972	
1973	<div class="botonprob">
1974		<div class="prefabajo">
1975			<div class="fabajo"></div>
1976		</div>
1977		<div class="botontxtproblema">
1978			 <p>La suma de la mitad y de la tercera parte de un número es 65. ¿
1978Qué número es? </p>
1979			
1980		</div>
1981		
1982	</div>
1983	
1984	
1985	
1986	<div class="respuesta" id="respD1" style="display: block">
1987	<div class="respuestatxt">
1988		
1989	  
1990		
1991	  
1992	
1993	  <p>La incógnita \(x\) es el número que buscamos. Su mitad es \( \frac{x}{2} \) y su tercera parte es \( \frac{x}{3} \). Como su suma tiene que ser 65, tenemos la ecuación</p> 
1994
1995	  <p>$$ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} =65 $$</p>
1996
1997	  <p>Multiplicamos la ecuación por el mcm de los denominadores (6):</p> 
1998
1999	  <p>$$ 6\cdot \frac{x}{2} + 6\cdot \frac{x}{3} =6\cdot 65 $$</p>
2000
2001	  <p>Simplificamos: </p>
2002
2003	  <p>$$ 3\cdot x + 2\cdot x = 390 $$</p>
2004
2005	  <p>$$ 5x = 390 $$</p>
2006
2007	  <p>El 5 pasa dividiendo: </p>
2008
2009	  <p>$$ x = \frac{390}{5}$$</p>
2010
2011	  <p>$$ x = 78 $$</p>
2012
2013	  <p>El número es 78.</p>
2014		
2015		
2016				
2017	</div>	
2018	</div><!--EndRespD1-->
2019	
2020	<div class="botonprob">
2021		<div class="prefabajo">
2022			<div class="fabajo"></div>
2023		</div>
2024	  <div class="botontxtproblema">
2025			  <p>Si la suma del doble de un número con la tercera parte de dicho número es 42, ¿qué número es?</p>
2026			
2027		</div>
2028		
2029	</div>
2030	
2031	
2032	
2033	<div class="respuesta" id="respD2" style="display: block">
2034	<div class="respuestatxt">
2035		
2036		
2037		
2038		
2039		
2040	  
2041	
2042	  <p>La incógnita \(x\) es el número que buscamos. Su doble es \(2x\) y su tercera parte es \( \frac{x}{3} \). Como su suma tiene que ser 42, tenemos la ecuación </p>
2043
2044	  <p>$$ 2x + \frac{x}{3} = 42$$</p>
2045
2046	  <p>Multiplicamos por 3: </p>
2047
2048	  <p>$$ 3\cdot 2x + 3\cdot \frac{x}{3} = 3\cdot 42 $$</p>
2049
2050	  <p>Resolvemos la ecuación:</p> 
2051
2052	  <p>$$ 6x + x = 126$$</p>
2053
2054	  <p>$$ 7x = 126 $$</p>
2055
2056	  <p>$$ x = \frac{126}{7} $$</p>
2057
2058	  <p>$$ x = 18 $$</p>
2059
2060	  <p>El número es 18.</p>
2061		
2062		
2063				
2064		
2065		
2066	</div>	
2067	</div><!--EndRespD2-->
2068	
2069	
2070	
2071		
2072	
2073	
2074	<div class="botonprob">
2075		<div class="prefabajo">
2076			<div class="fabajo"></div>
2077		</div>
2078	  <div class="botontxtproblema">
2079			  <p>¿Cuál es el número tal que al sumarle la mitad de su consecutivo se obtiene 23?</p>
2080			
2081		</div>
2082		
2083	</div>
2084	
2085	
2086	
2087	<div class="respuesta" id="respD3" style="display: block">
2088	<div class="respuestatxt">
2089		
2090		
2091
2092		
2093		
2094		
2095		
2096	  
2097	
2098	  <p>Recordad que el consecutivo de \(x\) es \(x+1\). Por tanto, su mitad es</p> 
2099
2100	  <p>$$ \frac{x+1}{2} $$</p>
2101
2102	  <p>La ecuación del problema es</p> 
2103
2104	  <p>$$ x + \frac{x+1}{2} = 23 $$</p>
2105
2106	  <p>La multiplicamos por 2 y resolvemos: </p>
2107
2108	  <p>$$ 2x + 2\cdot \frac{x+1}{2} = 2\cdot 23 $$</p>
2109
2110	  <p>$$ 2x + (x+1) = 46 $$</p>
2111
2112	  <p>$$ 3x +1 = 46 $$</p>
2113
2114	  <p>$$ 3x = 45 $$</p>
2115
2116	  <p>$$ x = \frac{45}{3} $$</p>
2117
2118	  <p>$$ x = 15 $$</p>
2119
2120	  <p>El número es 15.</p>
2121		
2122		
2123		
2124				
2125			
2126		
2127		
2128	</div>	
2129	</div><!--EndRespD3-->
2130	
2131	
2132	
2133		
2134	
2135	
2136	<div class="botonprob">
2137		<div class="prefabajo">
2138			<div class="fabajo"></div>
2139		</div>
2140	  <div class="botontxtproblema">
2141			 <p>Calcular el número tal que el resultado de sumarle 1 al doble de su tercera parte es 19. </p>
2142			
2143		</div>
2144		
2145	</div>
2146	
2147	
2148	
2149	<div class="respuesta" id="respD4" style="display: block">
2150	<div class="respuestatxt">
2151		
2152		
2153		
2154
2155		
2156		
2157	  
2158	
2159	  <p>La tercera parte de \(x\) es \(\frac{x}{3}\) y el doble de éste es \( 2\cdot \frac{x}{3} \). </p>
2160
2161	  <p>La ecuación del problema es</p> 
2162
2163	  <p>$$ 1 + 2\cdot \frac{x}{3} = 19 $$</p>
2164
2165	  <p>Multiplicamos por 3 y resolvemos: </p>
2166
2167	  <p>$$ 3 + 3\cdot 2\cdot \frac{x}{3} = 19\cdot 3 $$</p>
2168
2169	  <p>$$ 3 + 2x = 57 $$</p>
2170
2171	  <p>$$ 2x = 57-3 $$</p>
2172
2173	  <p>$$ 2x = 54 $$</p>
2174
2175	  <p>$$ x = \frac{54}{2} $$</p>
2176
2177	  <p>$$ x = 27 $$</p>
2178
2179	  <p>El número es 27.</p>
2180		
2181		
2182				
2183			
2184		
2185		
2186	</div>	
2187	</div><!--EndRespD4-->
2188	
2189	
2190	
2191		
2192	
2193	
2194	
2195	<div class="botonprob">
2196		<div class="prefabajo">
2197			<div class="fabajo"></div>
2198		</div>
2199	  <div class="botontxtproblema">
2200			 <p>Si Alberto tiene 14 años, ¿cuántos años deben transcurrir para que la tercera parte de su edad sea igual al número de años transcurrido? </p>
2201			
2202		</div>
2203		
2204	</div>
2205	
2206	
2207	
2208	<div class="respuesta" id="respD5" style="display: block">
2209	<div class="respuestatxt">
2210		
2211		
2212		
2213		
2214		
2215	  
2216	
2217	  <p>Dentro de \(x\) años, la edad de Alberto será \(14+x\). La tercera parte de su edad será</p> 
2218
2219	  <p>$$ \frac{14+x}{3}$$</p>
2220
2221	  <p>Esta cantidad debe ser igual al número \(x\) de años que habrán transcurrido: </p>
2222
2223	  <p>$$  \frac{14+x}{3} = x $$</p>
2224
2225	  <p>Multiplicamos por 3 y resolvemos la ecuación:</p>
2226
2227	  <p>
2227$$ 3\cdot \frac{14+x}{3} = 3\cdot x $$</p>
2228
2229	  <p>$$ 14+x = 3x $$</p>
2230
2231	  <p>$$ 14 = 3x -x $$</p>
2232
2233	  <p>$$ 14 = 2x $$</p>
2234
2235	  <p>$$ x = \frac{14}{2} $$</p>
2236
2237	  <p>$$ x = 7 $$</p>
2238
2239	  <p>Deben transcurrir 7 años.</p>
2240		
2241		
2242		
2243			 
2244
2245
2246
2247 
2248 
2249 
2250
2251 
2252
2253 
2254	
2255			
2256		
2257		
2258	</div>	
2259	</div><!--EndRespD5-->
2260	
2261	
2262	
2263	
2264	<div class="botonprob">
2265		<div class="prefabajo">
2266			<div class="fabajo"></div>
2267		</div>
2268	  <div class="botontxtproblema">
2269			  <p>Calcular \(x\) para que la suma de la mitad de \(x\) y de la tercera parte de \(x\) sea \(2x -14\).</p>
2270			
2271		</div>
2272		
2273	</div>
2274	
2275	<div class="respuesta" id="respD6" style="display: block">
2276	<div class="respuestatxt">
2277		
2278		
2279		
2280		
2281		
2282		
2283	  
2284	
2285	  <p>La mitad de \(x\) es \( \frac{x}{2} \) y la tercera parte de \(x\) es \( \frac{x}{3} \).</p> 
2286
2287	  <p>La ecuación del problema es</p> 
2288
2289	  <p>$$ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 2x -14 $$</p>
2290
2291	  <p>Multiplicamos por el mcm de los denominadores (6):</p>
2292
2293	  <p>$$ 6\cdot \frac{x}{2} +6\cdot \frac{x}{3} = 6\cdot 2x -6\cdot 14 $$</p>
2294
2295	  <p>$$ 3\cdot x + 2\cdot x = 12x – 84 $$</p>
2296
2297	  <p>$$ 5x = 12x -84 $$</p>
2298
2299	  <p>$$ 84 = 12x -5x $$</p>
2300
2301	  <p>$$ 84 = 7x $$</p>
2302
2303	  <p>$$ x = \frac{84}{7} $$</p>
2304
2305	  <p>$$ x = 12 $$</p>
2306		
2307		
2308		
2309			 
2310
2311			
2312		
2313		
2314	</div>	
2315	</div><!--EndRespD6-->
2316	
2317	
2318	
2319	<div class="botonprob">
2320		<div class="prefabajo">
2321			<div class="fabajo"></div>
2322		</div>
2323	  <div class="botontxtproblema">
2324			 <p>Calcular la edad de Anabel sabiendo que tiene 2 años más que Isabel y que la resta de la mitad de la edad de Anabel menos  la tercera parte de la edad de Isabel es 4. </p>
2325			
2326		</div>
2327		
2328	</div>
2329	
2330	
2331	
2332	<div class="respuesta" id="respD7" style="display: block">
2333	<div class="respuestatxt">
2334		
2335		
2336		
2337		
2338		
2339		
2340	  
2341	
2342	  <p>La incógnita es \(x\) (edad de Anabel). Como es 2 años mayor que Isabel, la edad de Isabel es \(x-2\). </p>
2343
2344	  <p>La mitad de la edad de Anabel es \( \frac{x}{2} \) y la tercera parte de la edad de Isabel es \( \frac{x-2}{3} \).</p> 
2345
2346	  <p>La ecuación del problema es </p>
2347
2348	  <p>$$ \frac{x}{2} - \frac{x-2}{3} = 4 $$</p>
2349
2350	  <p>Multiplicamos por el mcm de los denominadores (6):</p> 
2351
2352	  <p>$$ 6\cdot \frac{x}{2} -6\cdot \frac{x-2}{3} = 6\cdot 4 $$</p>
2353
2354	  <p>$$ 3x -2\cdot(x-2) = 24 $$</p>
2355
2356	  <p>$$ 3x -2x + 4 = 24 $$</p>
2357
2358	  <p>$$ x = 24-4 $$</p>
2359
2360	  <p>$$ x = 20 $$</p>
2361
2362	  <p>La edad de Anabel es 20.</p>
2363		
2364		
2365			 
2366
2367			
2368		
2369		
2370	</div>	
2371	</div><!--EndRespD7-->
2372		
2373		
2374			
2375	
2376	
2377	
2378	<div class="botonprob">
2379		<div class="prefabajo">
2380			<div class="fabajo"></div>
2381		</div>
2382	  <div class="botontxtproblema">
2383			 <p>Calcular un número sabiendo que sus dos cifras suman 12 y que la segunda es la mitad de la primera.</p>
2384			
2385		</div>
2386		
2387	</div>
2388	
2389	
2390	
2391	<div class="respuesta" id="respD8" style="display: block">
2392	<div class="respuestatxt">
2393		
2394		
2395		
2396		
2397		
2398	  
2399	
2400	  <p>Si \(x\) es la primera cifra, entonces la segunda es \( \frac{x}{2} \). </p>
2401
2402	  <p>La suma de las cifras es 12: </p>
2403
2404	  <p>$$ x + \frac{x}{2} = 12 $$</p>
2405
2406	  <p>$$ 2\cdot x + 2\cdot \frac{x}{2} = 2\cdot 12 $$</p>
2407
2408	  <p>$$ 2x + x = 24 $$</p>
2409
2410	  <p>$$ 3x = 24 $$</p>
2411
2412	  <p>$$ x = \frac{24}{3}$$</p>
2413
2414	  <p>$$ x = 8 $$</p>
2415
2416	  <p>El número de dos cifras es 84.</p>
2417		
2418		
2419			 
2420
2421			
2422		
2423		
2424	</div>	
2425	</div><!--EndRespD8-->
2426		
2427		
2428	
2429	
2430	<div class="botonprob">
2431		<div class="prefabajo">
2432			<div class="fabajo"></div>
2433		</div>
2434	  <div class="botontxtproblema">
2435			  <p>Calcular la edad de Carlos sabiendo que es 2 años menor que Jaime y que la suma de la cuarta parte de su edad con la mitad de la de Jaime es 13.  </p>
2436			
2437		</div>
2438		
2439	</div>
2440	
2441	
2442	
2443	<div class="respuesta" id="respD9" style="display: block">
2444	<div class="respuestatxt">
2445		
2446		
2447		
2448		
2449		
2450		
2451	  
2452	
2453	  <p>La incógnita \(x\) es la edad de Carlos. La edad de Jaime es \( x +2\). </p>
2454
2455	  <p>La ecuación del problema es</p> 
2456
2457	  <p>$$ \frac{x}{4} + \frac{x+2}{2} = 13 $$</p>
2458
2459	  <p>Multiplicamos por 4: </p>
2460
2461	  <p>$$ 4\cdot \frac{x}{4} + 4\cdot \frac{x+2}{2} = 4\cdot 13 $$</p>
2462
2463	  <p>$$ x + 2\cdot (x+2) = 52 $$</p>
2464
2465	  <p>$$ x + 2x + 4 = 52 $$</p>
2466
2467	  <p>$$ 3x = 48 $$</p>
2468
2469	  <p>$$ x = \frac{48}{3} $$</p>
2470
2471	  <p>$$ x = 16 $$</p>
2472
2473	  <p>La edad de Carlos es 16. </p>
2474		
2475		
2476			 
2477
2478			
2479		
2480		
2481	</div>	
2482	</div><!--EndRespD9-->
2483		
2484		
2485	
2486	
2487	
2488	<div class="botonprob">
2489		<div class="prefabajo">
2490			<div class="fabajo"></div>
2491		</div>
2492	  <div class="botontxtproblema">
2493			 <p>Calcular el parámetro \(a \neq 0\) para que la solución de la ecuación \( \frac{x}{3} -1 = \frac{2}{3\cdot a} \) sea \(x = 4\). </p>
2494			
2495		</div>
2496		
2497	</div>
2498	
2499	
2500	
2501	<div class="respuesta" id="respD10" style="display: block">
2502	<div class="respuestatxt">
2503		
2504		
2505	
2506		
2507		
2508		
2509	  <p>Como la solución de una ecuación debe cumplir dicha ecuación al sustituirla por la incógnita, sustituimos \(x = 4\) en la ecuación del problema:</p> 
2510
2511	  <p>$$ \frac{4}{3} - 1 = \frac{2}{3\cdot a} $$</p>
2512
2513	 <p>Ahora tenemos una ecuación donde el parámetro \(a\) es la incógnita. </p>	
2514		
2515	  <p>Simplificamos el lado izquierdo:</p>
2516
2517	  <p>$$  \frac{1}{3}  = \frac{2}{3\cdot a} $$</p> 
2518
2519	  <p>El 3 de la izquierda pasa multiplicando al otro lado:</p>
2520
2521	  <p>$$ 1 = \frac{3\cdot 2}{3\cdot a} $$</p>
2522
2523	  <p>Eliminamos los dos 3’s: </p>
2524
2525	
2526
2527	  <p>$$ 1 = \frac{2}{a} $$</p>
2528
2529	  <p>Como \(a\) está dividiendo, pasa multiplicando al otro lado:</p> 
2530
2531	  <p>$$ a = 2 $$</p>
2532
2533	  <p>Por tanto, el parámetro \(a\) debe ser 2 para que la solución del problema sea \(x = 4\). </p>
2534		
2535		
2536			 
2537
2538			
2539		
2540		
2541	</div>	
2542	</div><!--EndRespD10-->
2543		
2544		
2545				
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2549	<br>
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2585		
2586	<div class="firma">
2587		<h2>Ecuaciones Resueltas &copy;</h2>
2588	</div>
2589</div><!--EContainer-->
2590	
2591	
2592<div id="lateralizq">
2593<div class="lateraltxtizq">
2594		
2595		
2596		<h2 class="fon">Otras ecuaciones</h2>
2597		<hr class="pab">
2598	
2599		<a class="enlace" href="https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-sistemas-ecuaciones.html">
2600		<p>Sistemas de ecuaciones</p>
2601		</a>
2602	
2603		
2604		<a class="enlace" href="https://www.matesfacil.com/resueltos-ecuaciones-segundo-grado.htm">
2605		<p>Ecuaciones de segundo grado</p>
2606		</a>
2607	
2608		
2609		<a class="enlace" href="https://www.matesfacil.com/ejercicios-resueltos-ecuaciones-radicales.html">
2610		<p>Ecuaciones irracionales</p>
2611		</a>
2612	
2613		
2614		<a class="enlace" href="https://www.matesfacil.com/ESO/exponenciales/ejercicios-resueltos-ecuaciones-exponenciales.html">
2615		<p>Ecuaciones exponenciales</p>
2616		</a>
2617	
2618	
2619		
2620		<a class="enlace" href="https://www.matesfacil.com/ESO/logaritmos/ejercicios-resueltos-sistemas-ecuaciones-logaritmicas.html">
2621		<p>Ecuaciones logarítmicas</p>
2622		</a>
2623	
2624	
2625		<h2 class="fon">Enlaces</h2>
2626		<hr class="pab">
2627		
2628		<a class="enlace" href="https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/minimo-comun-multiplo-definicion-ejemplos-ejercicios-test-problemas-descomposicion-primos.html">
2629		<p>Mínimo común múltiplo</p>
2630		</a>
2631	
2632		<a class="enlace" href="https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-ecuaciones-ec.html">
2633		<p>25 ecuaciones resueltas</p>
2634		</a>	
2635	
2636		<a class="enlace" href="https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/ecuaciones-primer-grado-resueltas-fracciones-parentesis-solucion.html">
2637		<p>Más ecuaciones</p>
2638		</a>	
2639			
2640		<a class="enlace" href="https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-problemas-ecuaciones.html">	
2641		<p>45 problemas</p>
2642		</a>	
2643			
2644		<a class="enlace" href="https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/problemas/problemas-ecuaciones-primer-grado-resueltos-numeros-edades.html">	
2645		<p>Más problemas</p>
2646		</a>	
2647			
2648		<a class="enlace" href="http://www.calcularporcentajeonline.com/">	
2649		<p>Porcentajes</p>
2650		</a>	
2651			
2652		<a class="enlace" href="http://teoremadepitagorasonline.com/">	
2653		<p>Pitágoras</p>
2654		</a>	
2655			
2656		<a class="enlace" href="http://www.problemasyecuaciones.com">	
2657		<p>Problemas y Ecuaciones</p>
2658		</a>	
2659			
2660		<a class="enlace" href="http://logaritmo.info">	
2661		<p>Logaritmos</p>
2662		</a>	
2663		
2664		<a class="enlace" href="https://www.matesfacil.com">	
2665		<p>Otros temas</p>
2666		</a>	
2667		
2668</div>			
2669</div>	
2670	
2671	
2672<div id="lateralder">
2673<div class="lateraltxtder">
2674		<h2 class="fon">Niveles</h2>
2675		<hr class="pab">
2676		<p><a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-1/ecuaciones-primer-grado-basicas-resueltas-explicadas.html" class="enlace"><strong>Nivel 1:</strong> Primeras ecuaciones</a></p>
2677		
2678		<p><a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-2/numero-soluciones-ecuaciones-primer-grado-explicadas.html" class="enlace"><strong>Nivel 2:</strong> Número de soluciones</a></p>
2679		
2680		
2681		
2682			<p><a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-3/ecuaciones-parentesis-resueltas-ejemplos-explicadas-dentro-signo.html" class="enlace"><strong>Nivel 3:</strong> Ecuaciones con paréntesis</a></p>
2683		
2684		
2685	
2686		<p><a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-5/ecuaciones-fracciones-parentesis-resueltas-ejemplos.html" class="enlace"><strong>Nivel 5:</strong> Ecuaciones con fracciones y con paréntesis</a></p>
2687	
2688		
2689		<p><a href="https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-6/50-problemas-resueltos-explicados-ecuaciones-primer-grado-calcular-numeros-edades-velocidad-fracciones-porcentajes.html" class="enlace"><strong>Nivel 6:</strong> Problemas</a></p>
2690		
2691</div>		
2692</div>	
2693	
2694		
2695	
2696	
2697	
2698	
2699<div id="barra">
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2701	<div id="menubarras" class="menus2">
2702		<div id="minimenu" onClick="verMenu('E')">
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2708	</div>
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2714		<h1></h1>
2715	</div>	
2716		<div id="home"><font style="font-size: xx-large; color:white;"><i class="fa fa-home"></i></font></div>
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2719	</a>
2720	
2721	<div id="nivel" class="menus" onClick="verMenu('N')">
2722		<div class="preFLE1">	
2723				<h2>Nivel 4</h2>
2724		</div>  
2725	
2726		<div id="preFLE2">
2727				<div id="flecha"></div>
2728		</div>
2729	</div>	
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2750</html>

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